Модели распределенных лагов

Во многих экономических задачах встречаются лагированные (взятые в предыдущий момент времени) переменные. Например, Y_t – выпуск предприятия в год t,может зависеть не только от инвестиций I_t этот год, но и от инвестиций в предыдущие годы:

.

Такие модели встречаются всякий раз, когда эндогенная переменная с запаздыванием реагирует на изменения экзогенной переменной. При этом в модели могут использоваться лагированные значения экзогенной или эндогенной переменной или одновременно и те, и другие. Для статистического моделирования полезно различать два случая.

Обе модели:

(12.7)

(12.8)

включают в себя лагированные значения переменных, но существенно различаются с точки зрения статистического оценивания параметров. Действительно, в (12.7) регрессоры некоррелированы с ошибками (мы здесь предполагаем, что независимая переменная x_t детерминированная). Поэтому (12.7) можно оценивать с помощью МНК. В модели (12.8) y_t-1включает в себя e_t-1поэтому вектор ошибок eи матрица регрессоров X коррелированы. В этом случае оценки МНК не являются несмещенными.

Уравнение (12.7) является примером моделираспределенных лагов, DL. Уравнение (12.8) является авторегрессионной моделью распределенных лагов или динамической моделью, ADL.

Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику:

1. Оценка параметров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом, не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов.

2. Исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры.

3. Между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.

 

 

36.Стационарность процессов

При изучении случайных процессов особо важное место занима­ют процессы, свойства которых остаются инвариантными при любых перемещениях вдоль оси времени.

Ряд у_t называется строго стационарным или стационарным в узком смысле, если совместное распределение т на­блюдений у_t1,y_t2… - ,Уtт не зависит от сдвига по времени, т. е. совпадает с распределением y_t1+1,y_t2+1,… ,y_tm+1 для любых т,t,t_{1, ….,}t_m

Обычно нас интересуют средние значения и ковариации, а не все распределение. Поэтому часто используется понятие слабой стацио­нарности, или стационарности в широком смысле, которое состоит в том, что среднее, дисперсия и ковариации у, не зави­сят от момента времени t.

E(y_t)=μ;

V(y_t)=ν₀;

Соv{у_t, y_t-k) = ν_k.

Конечно, из строгой стационарности следует слабая стационар­ность (при условии конечности первого и второго моментов распреде­ления). В дальнейшем мы будем везде под «стационарностью» пони­мать слабую стационарность.

Введем понятие автокорреляционной функции ACF:

ρ_k= Соv{у_t, y_t-k)/ V(y_t)= ν_k/ ν₀;

Заметим, что р₀ = 1, а !P!< 1. ACF играет важную роль в задаче идентификации моделей временных рядов.

Рассмотрим примеры временных рядов. Самым простым являет­ся ряд с независимыми одинаково распределенными наблюдениями:

Y_t= έ_t, έ_{t ~} iid(0, σ² ), t=1…,n

Этот процесс называется «белым шумом» у него μ = 0, ν₀=о², ν_k = 0, k>0.

Другим примером является АR(1) процесс:

у_t= т+ψуt-1+ έt ,..έ_t,~ iid(0, σ² ), t=1…,n

Предполагается, что |ψ| < 1. В этом случае процесс является ста­ционарным, если его автокорреляционная функция равна ρ_k=ν_k/ ν₀₌ψ^k , k=1,2,...

Важным примером является процесс y_t= y_t-1+έ_t, έ_t,~ iid(0, σ² ) ), t=1…,n,

называемый «случайным блужданием»

Этот процесс является нестационарным.

Отличие процесса АR(1) от «случайного блуждания» в том, что во втором случае влияние возмущений не затухает и равно έ_t+ έ_t-1+ έ_t-2+…

В то время как в процессе АR(1) έ_t+ ψέ_t-1+ψ² έ_t-2+ …

Ещё раз подчеркнем, что условие |ψ| < 1 является обязательным,
а обратное условие |ψ| > 1 не встречается в реальных экономических примерах.