Анализ сложных электрических цепей

 

Для расчета сложных цепей (содержащих два и более источников энергии) применяют методы, которые основаны на двух законах Кирхгофа.

При формулировке этих законов фигурируют такие понятия электрических цепей, как «электрический узел», «электрическая ветвь», «электрический контур».

Узлом электрической цепи называют точку, в которой соединяются три и более проводников.

Ветвь - это участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов и расположенный между двумя узлами.

Контур - это замкнутая группа последовательно соединенных между собой ветвей.

. Рис. 7

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е. .

При составлении уравнений пользуются правилом: если ток входит в узел, то его в уравнение подставляют со знаком «+», если выходит - «-»:

I₁+I₄ - I₂ - I₃=0, или

I₁+I₄= I₂+I₃,

то есть сумма токов приходящих к узлу цепи равна сумме токов уходящих из узла.

 

Рис. 8

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура:

.

Приведем правила составления уравнений по второму закону Кирхгофа. Для примера возьмем схему замещения электропитания автомобиля, см. рисунок. На схеме Е₁ и Е₂ соответственно ЭДС аккумуляторной батареи и электрического генератора, а Е₃ - противо ЭДС стартерного электродвигателя. R_i сопротивления соединительных проводников.

Цепь содержит три контура, однако уравнения по второму закону составляются только для независимых контуров. Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие контуры. Независимых контуров в приведенной цепи два.

Уравнения составляют в следующей последовательности:

− произвольно выбираем направление токов ветвях (направления токов обозначены стрелками);

− составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов. Количество уравнений n должно быть равно количеству узлов m без одного (n=m-1). Например, для верхнего узла:

;

− произвольно задаемся направлением обхода контуров (например, против часовой стрелки);

− составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. При составлении пользуются правилами: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то в уравнение она подставляется со знаком «+», в противном случае с «-»; если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения подставляется со знаком «+», в противном случае со знаком «-».

Таким образом, для контуров I и II:

.

Получена система из трех уравнений, решая которую получим значения искомых токов. Если в результате решения один из токов окажется отрицательным, то этот ток имеет направление, противоположное избранному на схеме.