Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized Least Squares).

Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК. Процесс перехода к относительным величинам может быть осложнен выдвижением иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Как расшифруется МНК?

2. Кто вел терминологию МНК?

 

Рекомендуемая литература

1. Кристофер Доугерти. Введение в эконометрию. – М.: ИНФРА – М, 2001 - 402 с.

2. С.А. Бородич. Эконометрика. Минск ООО «Новое знание» 2001.

3. Р.У. Рахметова Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие. Алматы. 2004. -78с.

4. И.И. Елисеева. Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика»,2002

5. Ежемесячный информационно-аналитический журнал.

Тема №12. Динамический ряд. Основные виды динамического ряда. Основные показатели в рядах динамики. Уравнение тренда.

 

· Динамический ряд

· Основные показатели в рядах динамики

 

Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд— это совокупность значений какого-либо по­казателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• факторы, формирующие тенденцию ряда;

• факторы, формирующие циклические колебания ряда;

• случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство времен­ных рядов экономических показателей имеют тенденцию, харак­теризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправ­ленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в сово­купности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от­раслей экономики зависит от времени года. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цикли­ческой компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ря­да можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной модельювременного ряда. Модель, в ко­торой временной ряд представлен как произведение перечислен­ных компонент, называется мультипликативной модельювремен­ного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количествен­ного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Сколько компонентов во временных рядах?

2. Приведите примеры по каждому компоненту?

 

Рекомендуемая литература

1. Кристофер Доугерти. Введение в эконометрию. – М.: ИНФРА – М, 2001 - 402 с.

2. С.А. Бородич. Эконометрика. Минск ООО «Новое знание» 2001.

3. Р.У. Рахметова Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие. Алматы. 2004. -78с.

4. И.И. Елисеева .Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика»,2002

5. Ежемесячный информационно-аналитический журнал.

Тема №13. Методы обработки рядов. Аналитические методы выравнивания динамического ряда.

 

· Методы обработки рядов

· Аналитические методы выравнивания динамического ряда

 

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

• линейный тренд:

• гипербола: ,

• экспоненциальный тренд:

• тренд в форме степенной функции:

• парабола второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой переменной — фактические уровни временного ряда yt .

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исклю­чения тенденции можно разделить на две группы:

• методы, основанные на преобразовании уровней исходного
ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полу­ченные переменные используются далее для анализа взаимо­связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в
данной группе — это метод последовательных разностей и
метод отклонений от трендов;

• методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных
уровней временных рядов при элиминировании воздействия
фактора времени на зависимую и независимые переменные
модели. В первую очередь это метод включения в модель рег­рессии по временным рядам фактора времени.

Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из перечисленных выше методов.

Пусть имеются два временных ряда xt и yt каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ε. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни и соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи ря­дов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда и при условии, что последние не содержат тенденции.

Вряде случаев вместо аналитического выравнивания времен­ного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод — метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней рядацепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Пусть ;

Тогда

Коэффициент b — константа, которая не зависит от времени.

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (9.1), однако

Тогда

Как показывает это соотношение, первые разности t , непо­средственно зависят от фактора времени t и, следовательно, со­держат тенденцию.

Определим вторые разности:

Очевидно, что вторые разности t2, не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме пара­болы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Для постарения тренда, какие методы используется?

2. На сколько групп можно поделить в исключения тренда?

 

Рекомендуемая литература

1. Кристофер Доугерти. Введение в эконометрию. – М.: ИНФРА – М, 2001 - 402 с.

2. С.А. Бородич. Эконометрика. Минск ООО «Новое знание» 2001.

3. Р.У. Рахметова Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие. Алматы. 2004. -78с.

4. И.И. Елисеева .Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика»,2002

5. Ежемесячный информационно-аналитический журнал.

Тема №14. Автокорреляция уровней динамического ряда и выявление его структуры.

 

· Автокорреляция

· Структура автокорреляции

 

Корреляционную зависимость между последова­тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного ко­эффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:

Можно определить коэффициенты автокорреля­ции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент авто­корреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уt и yt-1 и определяется по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции, уменьшается.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров­нях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага на­зывается коррелограммой.

В эконометрике к числу динамических относятся не все модели, построенные по временным рядам данных. Термин «динамический» в данном случае характеризует каждый момент времени в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т.е. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.

При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t-1, t-2, …, t-l. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один ил более моментов времени, — лаговыми переменными.

Эконометрическое моделирование осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида

является примером модели с распределенным лагом.

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида

относится к моделям авторегрессии. Построение моделей с распределенным лагом и моделей ав­торегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка парамет­ров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует спе­циальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии су­ществует определенная

взаимосвязь, и в некоторых случаях необ­ходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому. Интерпретация параметров моделей с распределительным лагом. Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент вре­мени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение уt при изменении хt на 1 ед. свое­го измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффици­ент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t+1) совокупное воздействие факторной перемен­ной xt на результат уt , составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b0+b1+b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

Введем следующее обозначение:

b0 +b1 +…+bl =b

Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он по­казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l ре­зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

ßj =bj /b, j=0:1

Назовем полученные величины относительными коэффициен­тами модели с распределенным лагом. Сред­ний лаг определяется по формуле средней арифметической взве­шенной: и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании резуль­тата на изменение фактора, тогда как высокое его значение гово­рит о том, что воздействие фактора на результат будет сказывать­ся в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого . Это тот период времени, в течение которого с момента време­ни t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Как строится коррелограмма?

2. Чему равен медианный лаг?

 

Рекомендуемая литература

1. Кристофер Доугерти. Введение в эконометрию. – М.: ИНФРА – М, 2001 - 402 с.

2. С.А. Бородич. Эконометрика. Минск ООО «Новое знание» 2001.

3. Р.У. Рахметова Краткий курс по эконометрике. Учебное пособие. Алматы. 2004. -78с.

4. И.И. Елисеева .Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика»,2002

5. Ежемесячный информационно-аналитический журнал.

Тема №15. Сведения из теории вероятностей и математической статистики. Случайный характер экономических явлений и статистическая закономерность.

 

· Теория вероятности и математическая статистика

· Закономерности статистики

 

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (явлениях). Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее — основное, что отличает случайное явление от детерминированного. Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях и обладают (непонятно как проверяемым заранее) свойством «статистической устойчивости : «если А — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/n числа экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов n, приближаясь к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию А произойти.

В дальнейшем мы будем говорить лишь о случайных экспериментах, обладающих данными свойствами, а свойство статистической устойчивости докажем в утверждении, известном как закон больших чисел Я.Бернулли.

Многие люди непосредственно сталкивались с вероятностями, участвуя в лотереях и азартных играх, и их заинтересованность в том, чем они занимались, часто приводила к удивительно высокой практической компетентности, обычно при полном отсутствии формальной подготовки.

Случайная переменная – это любая переменная, значение которой не может быть точно предсказано. Дискретной называется случайная величина, имеющая определенный набор возможных значений. Пример – сумма выпавших очков при бросании двух игральных костей. Пример случайной величины, не являющейся дискретной, – температура в комнате. Она может принять любое из непрерывного диапазона значений и является примером непрерывной случайной величины. К рассмотрению таких величин в этом приложении мы перейдем позже.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода. Вы можете рассчитать его, перемножив все возможные значения случайной величины на их вероятности и просуммировав полученные произведения. Математически если случайная величина обозначена как , то ее математическое ожидание обозначается как или .

Предположим, что может принимать конкретных значений и что вероятность получения равна . Тогда

Математическое ожидание случайной величины часто называют ее средним по генеральной совокупности. Для случайной величины это значение часто обозначается как .

С дискретными случайными переменными очень легко обращаться, поскольку они по определению принимают значения из некоторого конечного набора. Каждое из этих значений связано с определенной вероятностью, характеризующей его «вес». Если эти «веса» известны, то не составит труда рассчитать теоретическое среднее (математическое ожидание) и дисперсию.