Расчет цилиндрических передач на прочность.

Приведенная в этом параграфе методика расчета эвольвентных зуб­чатых передач в основном соответствует стандарту, но содержит некото­рые упрощения, которые не оказывают существенного влияния на результаты расчетов, и необходимы с точки зрения учебного процесса.

Расчет зубьев на контактную усталость.Контакт двух зубьев ци­линдрических зубчатых колес рассматривается как контакт по образую­щим двух цилиндров и, следовательно, является линейным контактом. Наибольшие контактные напряжения (рис.3.20) возникают при сопри­косновении зубьев в полюсе (в зоне однопарного зацепления прямозубых передач).

Максимальные контактные напряжения при линейном контакте оп­ределяются по известной нам из гл. 1 формуле Герца, которая для сталь­ных колес с коэффициентом Пуассона v = 0,3 будет иметь вид

(3.14)

где q — нормальная нагрузка на единицу длины контактных линий (для прямозубых передач длина контактной линии равна рабочей ширине);

 

 

 

 

E _пр - приведенный модуль материалов колес; р_пр — приведенный радиус кривизны зубьев.

Рис.3.20.

Из свойств эвольвенты мы знаем, что центры ее кривизны лежат на основной

 

окружности (см. рис. 3.3 и 3.4), следова­тельно, для пары зубьев (рис.3.20) радиусы кривизны зубьев в точке касания будут

Если колеса косозубые, то радиусы кривизны зубьев оп­ределяются по размерам экви­валентных

колес, следовательно,

(3.15)

 

(3.16)

Тогда, учитывая, что d₂ = d₁u, где и — передаточное число, получим

1/= 1/+ 1/=2

Нормальная нагрузка q на единицу длины контактных линий для косозубых колес с учетом неравномерности и динамичности нагрузки равна (так как сила нормального), суммарная длина контактных линий = b/ cos), а

(3.17)

Подставляя полученные выражения 1/и q, в формулу Герца и за­меняя произведение sincosна 0,5 sin 2, получим

(3.18)

Введем обозначение Z = 0,418—коэффици­ент, учитывающий геометрию передачи, свойства материала и коэффици­ент торцового перекрытия. В результате по условию нагрузочной способ-

ности &н ^ [G] получаем формулу для проверочного расчета на контактную усталость активных поверхностей зубьев стальных цилиндрических колес:

(3.19)

где — допускаемое контактное напряжение; Z 462-10³ Па^1/2 для

прямозубых передач; Z 376 • 10³ Па^1/2 для косозубых и шевронных пере­дач.

Так как , то окончательно имеем

. (3.20)

При выводе формулы для проектного расчета необходимо умень­шить количество неизвестных величин, что достигается введением коэф­фициента ширины венца относительно диаметра . Тогда

. (3.21)

Приравняв контактное напряжение допускаемому ,учитывая, что Т_х = Т₂/и , получим формулу для проектного расчета:

, (3.22)

где

. (3.23)

При проектном расчете можно определять межосевое расстояние а, для чего вводится коэффициент ширины колеса по межосевому расстоя­нию ц/^ = b/a и учитывается, что d_x = 2а/(и +1). После преобразования

получим формулу

, (3.24)

где

. (3.25)

Для предварительных расчетов прямозубых передач принимают

, Па^1/3, Па^1/3.

Нагрузочная способность косозубых и шевронных колес выше, чем
прямозубых, поэтому для них рекомендуются следующие значения ко-
эфициентов:

, Па^1/3, Па^1/3

Значения выбираются по табл. 3.5, после чего определяется по формуле

. (3.26)

Большие значения — для постоянных нагрузок и жестких конструк­ций опор и валов.

После определения межосевого расстояния а из эмпирических соот­ношений определяют модуль и округляют его значение до стандартного.

При твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса Н₁ и H₂ < 350 НВ принимают т = (0,01 ...0,02)а, при твердости зубьев шестер­ни Н₁>45 HRС_э и колеса Н₂350 НВ принимают т = (0,0125...0,025)а, при твердости зубьев шестерни и колеса H₁ и Н₂ > 45 HRC₃ принимают т = (0,016...0,0315)а.

Таблица 3.5

 

Для обеспечения равной контактной и изгибной прочности зубьев ориентировочное значение модуля при заданном межосевом расстоянии можно вычислить по формуле

, (3.27)

где К_ma — вспомогательный коэффициент (для прямозубых передач К_ma =1,4; для косозубых при < 1 К_ma =1,1; для косозубых при > 1 и шеврон­ных передач К_ma =0,85); Y_F1 — коэффициент формы зуба шестерни, определяемый по табл. 3.8; — допускаемое напряжение изгиба для шестерни.

Основные параметры (межосевые расстояния а, номиналь­ные передаточные числа и, коэффициенты ширины колес ) цилинд­рических передач для редукторов регламентированы ГОСТом (см. табл. 3.6 и 3.7).

Примечание. В табл. 3.6 и 3.7 1-й ряд следует предпочитать 2-му.

 

Стандартные значения : 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315; 0,4; 0,5;

0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Учитывая возможное осевое смещение зубчатых колес при сборке

передачи, ширину венца шестерни принимают на несколько миллиметров

большей, чем ширину венца колеса.

Расчет зубьев на усталость при изгибе. С точки зрения прочности зубьев на изгиб наиболее опасен момент, когда зуб входит в зацепление или выходит из него, а сила нормального давления приложена к верши­не зуба (рис. 3.21). При расчетах на изгиб зуб рассматривается как консольная балка, жестко защемленная одним концом, для которой справедлива гипотеза плоских се­чений. Кроме того, полагаем, что вся на­грузка F_n воспринимается только одним зубом, и пренебрегаем силами трения, что дает возможность считать силу F_n направ­ленной по общей нормали к профилям со­прикасающихся зубьев. Так как зуб своей

вершиной входит в зацепление не на межо­cевой линии, то угол, который составляет линия давления с перпен -

Рис.3.21

дикуляром к оси симметрии зуба, будет немного больше угла зацепления, но этой разни­цей пренебрегаем и полагаем, что .

Перенесем силу F_n на ось симметрии зуба и разложим ее на две вза­имно перпендикулярные составляющие F_t^’ и F_r^’ , одна из которых будет изгибать зуб, а вторая — сжимать. На рис. 3.21 показаны эпюры напря­
жений изгиба и сжатия.

Из практики известно, что усталостные трещины (рис. 3.16, а) возни­кают у основания зуба в зоне растянутых волокон. Это происходит пото­му, что основание зуба является местом, где возникают наибольшие на­пряжения изгиба и концентрация напряжений; последнее будем учиты­вать, вводя в расчеты теоретический коэффициент концентрации напря­жений К_Т.

Напряжениями сжатия (сравнительно небольшими) будем пренебре­гать, так как на растянутой стороне зуба (где возникают усталостные трещины) суммарные напряжения равны разности напряжений изгиба и сжатия, следовательно, расчет только по напряжениям изгиба даст неко­торое увеличение запаса прочности.

Напряжения изгиба в опасном сечении 1—1 зуба прямозубого ко­леса вычисляются по формуле

 

. (3.28)

 

Заменим силу F^’_t окружной силой F_t = 2T/d (такая замена даст в расчетах отклонение в сторону увеличения запаса прочности, так как F_t > F_t^’) и введем в расчет теоретический коэффициент концентраций напряжений К_г, коэффициент неравномерности нагрузки , и коэффи­циент динамичности нагрузки , тогда условие прочности прямого зуба на изгиб будет иметь вид

 

, (3.29)

 

где — допускаемое напряжение на изгиб.

Размеры l и s выразим через модуль зуба, от которого они зависят: l = , s =, тогда l/s² = /(). Подставив это выражение в пре­дыдущую формулу и заменив Y_F =, w_Fl =, получим формулу для проверочного расчета прямозубых колес

 

(3.30)

 

где Y_F — коэффициент формы зуба, зависящий только от числа зубьев и

выбираемый по табл. 3.8; параметр

 

Таблица 3.8
z, zv								И более
YF	4,26	4,09	3,90	3,80	3,70	3,66	3,62	3,60

 

У косозубых колес длина зуба больше, чем у прямозубых, поэтому в расчетную формулу вводится коэффициент Ур, учитывающий наклон ли­нии зуба, причем

,

либо более точно (по новому ГОСТу),

,

где — угол наклона; — коэффициент осевого перекрытия.

Формула для проверочного расчета косозубых колес имеет вид

, (3.31)

причем коэффициент формы зуба Y_F подбирается по табл. 3.8 по эквива­лентному числу зубьев z_v; m_n — нормальный модуль.

Основным видом проектного расчета закрытых передач с низкой и средней твердостью зубьев является расчет на контактную усталость активных поверхностей зубьев, а расчет на усталость зубьев при изгибе применяется как проверочный.

Параметры открытых передач, а также закрытых с высокой твер­достью активных поверхностей зубьев (Н > 50 HRC_Э, их нагрузочная способность лимитируется изгибной прочностью) определяют из расчета зубьев на изгиб, причем основным расчетным параметром является нор­мальный модуль. Формула для проектного расчета на изгиб имеет вид

, (3.32)

где К_m = 1,4 для прямозубых; К_m = 1,12 для косозубых (при > 1) и шеврон­ных передач; для косозубых при <1 К_m=1,25 (расчет ведется для шестерни).

Для обеспечения одинаковой долговечности ведущего и ведомого колес шестерню делают из более прочного материала, но прочность зуба также зависит от его формы. Поэтому сравнительную оценку прочности зубьев при изгибе можно провести по отношению /Y_F для ведущего и ведомого колес, а проверочные расчеты ведут по колесу, для которого это отношение меньше.

При проектном расчете на изгиб задаются числом зубьев шестерни z₁ (для открытых передач z₁ = 17...22) и коэффициентом ширины колеса

(для открытых передач = (10...12)/z₁); коэффициент определяют

по графику на рис. 3.19

 

Таблица 3.10

Твердость, НВ
NH lim млн. циклов

 

Коэффициент запаса прочности S_H = 1,1 для зубчатых колес с однородной структурой материала; S_H = 1,2 для колес с поверхно­стным упрочнением зубьев; для передач, выход из строя которых связан с тяжелыми последствиями, значения коэффициентов следует увеличивать до S_H = 1,25 и S_H - 1,35 соответственно.

Расчет на контактную усталость прямозубых передач ведется по ко­лесу, ддд которого допускаемое напряжение меньше; расчет косозубых и шевронных передач ведется по условному допускаемому напряжению

. (3.35)

Для конических колес .

Допускаемые напряжения на усталость при изгибе. Расчет до­пускаемых напряжений изгиба ведется по формуле

(3.36)

где — предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий

базе испытаний и принимаемый по табл. 3.9 (большие значения при большей твердости зубьев); Y_A — коэффициент реверсивности нагрузки; Y_N — коэффициент долговечности; S_F — минимальный коэффициент за­паса прочности.

Коэффициент реверсивности Y_A=1 при одностороннем приложении нагрузки; Y_A 0,7 для реверсивных передач.

Коэффициент долговечности Y_N=,

где база испытаний для всех сталей N_Flim = 4*10⁶ циклов; заданное число циклов N_k = 60nL_h. Для колес с однородной структурой материала q = 6, Y_Nmax = 4 ; при поверхностном упрочнении зубьев q = 9, Y_Nmax = 2,5.

Для длительно работающих передач, когда N_k > N_Flim, принимается Y_N=1.

Коэффициент запаса прочности учитывает нестабиль­ность свойств материала, его твердость, вероятность неразрушения и от­ветственность передачи; S_Flim = 1,4... 1,7 в зависимости от марки стали и термообработки (см. таблицы стандарта).

После проверочных расчетов превышение допускаемых напряжений (перегрузка передачи) не должна превышать 5%, а недогрузка желательна не более 10%.