Объемные и поверхностные силы.
Силы, действующие на жидкую частицу, подразделяются на два типа: объемные и поверхностные.
К объемным (или массовым) силам принадлежат, например, сила тяжести, центробежная сила. Массовые силы другой природы здесь не рассматриваются. Объемные силы действуют в каждой точке элементарного объема сплошной среды. Пусть 
– главный вектор объемных сил, действующих в объеме 
. Тогда вводится понятие плотности распределения объемных сил в виде предела:
. (2.1)
Как видим, размерность 
соответствует размерности ускорения: 
. Весу, например, соответствует равенство 
, где 
– ускорение силы тяжести.
Перейдем теперь к рассмотрению поверхностных сил. Пусть 
– главный вектор силы, приложенной, с одной стороны, к площадке 
. Индекс «n» означает не проекцию силы, а указание на то, что сила действует на площадке , произвольно ориентированной в пространстве. Целесообразно ввести в рассмотрение вместо силы напряжение:
. (2.2)
Рассмотрим тетраэдр, три грани которого параллельны координатным, плоскостям, а четвертая ориентирована произвольным образом (рис. 2.1).
 |
Рис.2.1 Тетраэдр
 |
Рис. 2.2 Единичный куб
Обозначим площади граней 
, 
, 
и 
, геометрический смысл которых ясен из рисунка 2.1. Ориентация площадки определяется единичной нормалью 
с направляющими косинусами пх, пу, пг. Тогда справедливы соотношения
, 
, 
. Пусть высота тетраэдра равна h. Тогда его объем равен
. Воспользуемся вторым законом Ньютона и составим уравнение движения тетраэдра:
,
где 
– ускорение центра масс тетраэдра.
Переходя теперь к пределу (устремляя 
), получим:
(2.3)
Получили формулу Коши , утверждающую, что на гранях образуется система взаимно уравновешенных напряжений. Проектируя векторное уравнение (2.3) на оси координат, получим три скалярных уравнения:
,
, (2.4)
.
Это означает, что напряженное состояние в произвольной точке сплошной среды характеризуется девятью компонентами, образующими тензор второго ранга или диаду:
, 
(2.5)
У этого тензора имеются следующие свойства:
, (2.6)
т.е. тензор напряжений в произвольной точке пространства обладает свойством симметрии (теорема Коши о взаимности касательных напряжений). Он содержит лишь шесть независимых компонентов.
В случае отсутствия касательных напряжений давление в точке является скалярной величиной, т.е. оно не зависит от ориентации площадки, проходящей через рассматриваемую точку.