Пример.

Дан временной ряд среднесписочной численности промышленно-производственного персонала промышленности Курской области, тыс. чел.

Годы
y 194,8 194,5 192,9 189,8 189,2 185,6 180,4 180,5 166,8 155,5 146,8 133,4 131,2 124,5 122,3 122,8 121,5 114,5 104,1

Задание:

1. Выбрать модель тренда с помощью диаграммы Excel.

2. Построить технологические таблицы по расчетным значениям и показателям адекватности модели.

3. Оценить устойчивость тенденции.

Параметры уравнения тренда могут быть найдены добавлением линии тренда в диаграмме Excel или решением системы уравнений по МНК.

Рис.6.1 Аппроксимация линейной функцией

Рис.6.2 Аппроксимация параболической функцией

В случае использования уравнения прямой линиисогласно МНК:

После преобразований получим систему:

В случае использования уравнения параболы согласно МНК:

Для решения системы без ЭВМ и расчета показателей адекватности составляются технологические таблицы. Решение систем уравнений предполагает расчет необходимых сумм по фактическим данным.

Технологическая таблица расчета показателей

адекватности функции уt = b+at

t y yt y- yt (y- yt)2
194,8 205,828 11,028 11,028 0,057 121,619
194,5 200,216 5,716 5,716 0,029 32,675
192,9 194,604 1,704 1,704 0,009 2,905
189,8 188,992 -0,808 0,808 0,004 0,652
189,2 183,381 -5,820 5,820 0,031 33,867
185,6 177,769 -7,831 7,831 0,042 61,331
180,4 172,157 -8,243 8,243 0,046 67,952
180,5 166,545 -13,955 13,955 0,077 194,748
166,8 160,933 -5,867 5,867 0,035 34,423
155,5 155,321 -0,179 0,179 0,001 0,032
146,8 149,709 2,909 2,909 0,020 8,463
133,4 144,097 10,697 10,697 0,080 114,430
131,2 138,485 7,285 7,285 0,056 53,076
124,5 132,873 8,373 8,373 0,067 70,114
122,3 127,262 4,962 4,962 0,041 24,616
122,8 121,650 -1,150 1,150 0,009 1,323
121,5 116,038 -5,462 5,462 0,045 29,837
114,5 110,426 -4,074 4,074 0,036 16,599
104,1 104,814 0,714 0,714 0,007 0,510
Сумма 0,692 869,170

 

- средняя ошибка аппроксимации

Стандартное отклонение:

Технологическая таблица расчета показателей

адекватности функции

t y yt y- yt (y- yt)2
194,8 202,958 8,158 8,158 0,042 66,559
194,5 198,304 3,804 3,804 0,020 14,472
192,9 193,537 0,637 0,637 0,003 0,406
189,8 188,658 -1,142 1,142 0,006 1,304
189,2 183,666 -5,534 5,534 0,029 30,625
185,6 178,561 -7,039 7,039 0,038 49,542
180,4 173,344 -7,056 7,056 0,039 49,784
180,5 168,014 -12,486 12,486 0,069 155,890
166,8 162,572 -4,228 4,228 0,025 17,876
155,5 157,017 1,517 1,517 0,010 2,301
146,8 151,349 4,549 4,549 0,031 20,697
133,4 145,569 12,169 12,169 0,091 148,089
131,2 139,676 8,476 8,476 0,065 71,849
124,5 133,671 9,171 9,171 0,074 84,107
122,3 127,553 5,253 5,253 0,043 27,594
122,8 121,322 -1,478 1,478 0,012 2,183
121,5 114,979 -6,521 6,521 0,054 42,521
114,5 108,523 -5,977 5,977 0,052 35,720
104,1 101,955 -2,145 2,145 0,021 4,601
Сумма 0,723 826,123

Стандартное отклонение:

Сравним уравнения трендов по показателям адекватности.

 

Уравнения трендов
0,954 3,64% 7,15
0,956 3,81% 7,19

По показателям адекватности выбираем функцию уt = b+at, которую будем использовать для расчета показателей колеблемости и устойчивости.

Показатель колеблемости равен

Показатель устойчивости -

Показатель устойчивости характеризует близость фактических уровней к тренду на 95,4%.

2.Для оценки устойчивости уровней временного ряда как процесса их направленного изменения рассчитаем коэффициент корреляции рангов Ч.Спирмэна:

, где

n – число уровней временного ряда;

- разность рангов уровней и номеров периодов времени.

t y Ранг (y)
194,8
194,5
192,9
189,8
189,2
185,6
180,4
180,5
166,8
155,5
146,8 -2
133,4 -4
131,2 -6
124,5 -8
122,3 -11
122,8 -11
121,5 -14
114,5 -16
104,1 -18
Сумма

Коэффициент Спирмена , достаточно близок к -1, что доказывает устойчивость снижения показателей ряда.

 

Контрольные вопросы

1. Трендовые модели с независимыми значениями случайной составляющей.

2. Полиномиальный тренд.

3. Трендовые модели с сезонными колебаниями.

4. В чем суть метода экспоненциального сглаживания?

5. В чем заключается проблема автокорреляции остатков и как она проявляется?

6. В чем состоит специфика построения моделей регрессии по временным рядам данных?

7. Перечислите основные методы исключения тенденции. Сравните их преимущества и недостатки.

8. Изложите суть метода отклонений от тренда.

9. В чем сущность метода последовательных разностей?

10. Какова интерпретация параметра при факторе времени в моделях регрессии с включением фактора времени?

11. Охарактеризуйте понятие автокорреляции в остатках. Какими причинами может быть вызвана автокорреляция в остатках?

12. Что такое критерий Дарбина – Уотсона? Изложите алгоритм его применения для тестирования модели регрессии на автокорреляцию в остатках.

13. Перечислите основные этапы обобщенного МНК.

14. Приведите примеры экономических задач, эконометрическое моделирование которых требует применения моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии.

15. Какова интерпретация параметров модели с распределенным лагом?

16. Какова интерпретация параметров модели авторегрессии?

17. Изложите методику применения метода инструментальных переменных для оценки параметров модели авторегрессии.

18. Изложите методику тестирования модели авторегрессии на автокорреляцию в остатках.