Пример.
Дан временной ряд среднесписочной численности промышленно-производственного персонала промышленности Курской области, тыс. чел.
Годы | |||||||||||||||||||
y | 194,8 | 194,5 | 192,9 | 189,8 | 189,2 | 185,6 | 180,4 | 180,5 | 166,8 | 155,5 | 146,8 | 133,4 | 131,2 | 124,5 | 122,3 | 122,8 | 121,5 | 114,5 | 104,1 |
Задание:
1. Выбрать модель тренда с помощью диаграммы Excel.
2. Построить технологические таблицы по расчетным значениям и показателям адекватности модели.
3. Оценить устойчивость тенденции.
Параметры уравнения тренда могут быть найдены добавлением линии тренда в диаграмме Excel или решением системы уравнений по МНК.
Рис.6.1 Аппроксимация линейной функцией
Рис.6.2 Аппроксимация параболической функцией
В случае использования уравнения прямой линиисогласно МНК:
После преобразований получим систему:
В случае использования уравнения параболы согласно МНК:
Для решения системы без ЭВМ и расчета показателей адекватности составляются технологические таблицы. Решение систем уравнений предполагает расчет необходимых сумм по фактическим данным.
Технологическая таблица расчета показателей
адекватности функции уt = b+at
t | y | yt | y- yt | (y- yt)2 | ||
194,8 | 205,828 | 11,028 | 11,028 | 0,057 | 121,619 | |
194,5 | 200,216 | 5,716 | 5,716 | 0,029 | 32,675 | |
192,9 | 194,604 | 1,704 | 1,704 | 0,009 | 2,905 | |
189,8 | 188,992 | -0,808 | 0,808 | 0,004 | 0,652 | |
189,2 | 183,381 | -5,820 | 5,820 | 0,031 | 33,867 | |
185,6 | 177,769 | -7,831 | 7,831 | 0,042 | 61,331 | |
180,4 | 172,157 | -8,243 | 8,243 | 0,046 | 67,952 | |
180,5 | 166,545 | -13,955 | 13,955 | 0,077 | 194,748 | |
166,8 | 160,933 | -5,867 | 5,867 | 0,035 | 34,423 | |
155,5 | 155,321 | -0,179 | 0,179 | 0,001 | 0,032 | |
146,8 | 149,709 | 2,909 | 2,909 | 0,020 | 8,463 | |
133,4 | 144,097 | 10,697 | 10,697 | 0,080 | 114,430 | |
131,2 | 138,485 | 7,285 | 7,285 | 0,056 | 53,076 | |
124,5 | 132,873 | 8,373 | 8,373 | 0,067 | 70,114 | |
122,3 | 127,262 | 4,962 | 4,962 | 0,041 | 24,616 | |
122,8 | 121,650 | -1,150 | 1,150 | 0,009 | 1,323 | |
121,5 | 116,038 | -5,462 | 5,462 | 0,045 | 29,837 | |
114,5 | 110,426 | -4,074 | 4,074 | 0,036 | 16,599 | |
104,1 | 104,814 | 0,714 | 0,714 | 0,007 | 0,510 | |
Сумма | 0,692 | 869,170 |
- средняя ошибка аппроксимации
Стандартное отклонение:
Технологическая таблица расчета показателей
адекватности функции
t | y | yt | y- yt | (y- yt)2 | ||
194,8 | 202,958 | 8,158 | 8,158 | 0,042 | 66,559 | |
194,5 | 198,304 | 3,804 | 3,804 | 0,020 | 14,472 | |
192,9 | 193,537 | 0,637 | 0,637 | 0,003 | 0,406 | |
189,8 | 188,658 | -1,142 | 1,142 | 0,006 | 1,304 | |
189,2 | 183,666 | -5,534 | 5,534 | 0,029 | 30,625 | |
185,6 | 178,561 | -7,039 | 7,039 | 0,038 | 49,542 | |
180,4 | 173,344 | -7,056 | 7,056 | 0,039 | 49,784 | |
180,5 | 168,014 | -12,486 | 12,486 | 0,069 | 155,890 | |
166,8 | 162,572 | -4,228 | 4,228 | 0,025 | 17,876 | |
155,5 | 157,017 | 1,517 | 1,517 | 0,010 | 2,301 | |
146,8 | 151,349 | 4,549 | 4,549 | 0,031 | 20,697 | |
133,4 | 145,569 | 12,169 | 12,169 | 0,091 | 148,089 | |
131,2 | 139,676 | 8,476 | 8,476 | 0,065 | 71,849 | |
124,5 | 133,671 | 9,171 | 9,171 | 0,074 | 84,107 | |
122,3 | 127,553 | 5,253 | 5,253 | 0,043 | 27,594 | |
122,8 | 121,322 | -1,478 | 1,478 | 0,012 | 2,183 | |
121,5 | 114,979 | -6,521 | 6,521 | 0,054 | 42,521 | |
114,5 | 108,523 | -5,977 | 5,977 | 0,052 | 35,720 | |
104,1 | 101,955 | -2,145 | 2,145 | 0,021 | 4,601 | |
Сумма | 0,723 | 826,123 |
Стандартное отклонение:
Сравним уравнения трендов по показателям адекватности.
Уравнения трендов | |||
0,954 | 3,64% | 7,15 | |
0,956 | 3,81% | 7,19 |
По показателям адекватности выбираем функцию уt = b+at, которую будем использовать для расчета показателей колеблемости и устойчивости.
Показатель колеблемости равен
Показатель устойчивости -
Показатель устойчивости характеризует близость фактических уровней к тренду на 95,4%.
2.Для оценки устойчивости уровней временного ряда как процесса их направленного изменения рассчитаем коэффициент корреляции рангов Ч.Спирмэна:
, где
n – число уровней временного ряда;
- разность рангов уровней и номеров периодов времени.
t | y | Ранг (y) | ||
194,8 | ||||
194,5 | ||||
192,9 | ||||
189,8 | ||||
189,2 | ||||
185,6 | ||||
180,4 | ||||
180,5 | ||||
166,8 | ||||
155,5 | ||||
146,8 | -2 | |||
133,4 | -4 | |||
131,2 | -6 | |||
124,5 | -8 | |||
122,3 | -11 | |||
122,8 | -11 | |||
121,5 | -14 | |||
114,5 | -16 | |||
104,1 | -18 | |||
Сумма |
Коэффициент Спирмена , достаточно близок к -1, что доказывает устойчивость снижения показателей ряда.
Контрольные вопросы
1. Трендовые модели с независимыми значениями случайной составляющей.
2. Полиномиальный тренд.
3. Трендовые модели с сезонными колебаниями.
4. В чем суть метода экспоненциального сглаживания?
5. В чем заключается проблема автокорреляции остатков и как она проявляется?
6. В чем состоит специфика построения моделей регрессии по временным рядам данных?
7. Перечислите основные методы исключения тенденции. Сравните их преимущества и недостатки.
8. Изложите суть метода отклонений от тренда.
9. В чем сущность метода последовательных разностей?
10. Какова интерпретация параметра при факторе времени в моделях регрессии с включением фактора времени?
11. Охарактеризуйте понятие автокорреляции в остатках. Какими причинами может быть вызвана автокорреляция в остатках?
12. Что такое критерий Дарбина – Уотсона? Изложите алгоритм его применения для тестирования модели регрессии на автокорреляцию в остатках.
13. Перечислите основные этапы обобщенного МНК.
14. Приведите примеры экономических задач, эконометрическое моделирование которых требует применения моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии.
15. Какова интерпретация параметров модели с распределенным лагом?
16. Какова интерпретация параметров модели авторегрессии?
17. Изложите методику применения метода инструментальных переменных для оценки параметров модели авторегрессии.
18. Изложите методику тестирования модели авторегрессии на автокорреляцию в остатках.