Статистика Дарбина-Уотсона.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки e_t содержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 2.6.). Существует два наиболее распространенных способа определения автокорреляции остатков. Первый метод – построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

(6.3)

Между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков действует соотношение

d»2(1 – r_e).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция (r_e=1), то d=0. Если в остатках полная отрицательная корреляция (r_e= –1), то d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует (r_e=0), то d=2.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Задается уровень значимости a. По таблицам значений критерия Дарбина – Уотсона (приложение 3) определяются для числа наблюдений n и числа независимых переменных (факторов) k критические значения d_l и d_u. Получаем пять интервалов для значения d.

- если 0 £d £d_l, то имеется положительная автокорреляция остатков;

- если d_l £d £d_u, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);

- если d_u £d £ 4 – d_u, то автокорреляция остатков отсутствует;

- если 4 – d_u £ d £ 4 – d_l , то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);

- если 4 – d_l £ d £4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.

Пример 6.3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.6.5.

Таблица 6.5

Год
Расходы, у
доход, х

у= –2.05+0,92х+e_t.

Год
ŷ	7,15	8,99	8,07	8,99	10,83	11,75	13,59	16,35
et	–0,15	–0,99	–0,07	1,01	0,17	0,25	0,41	–0,35
et – et-1	-	–0,84	0,92	1,08	–0,84	0,08	0,16	–0,76
∑(et)2=2,4095	,0225	,9801	,0049	1,020	,0289	,0625	,1681	,1225
∑(et – et-1)2=4,0336	-	,7056	0,846	1,166	,7056	,0064	,0256	,5776

Имеем d =4,0336/2,4095=1,674.

Пусть a=0,05, по таблицам (приложение 3) для n=8 и k=1 (однофакторная модель) находим критические значения d_l =0,76, d_u =1,33. Так как в нашем случае 1,33 £ 1,674 £ 4 – 1,39=2,61, то автокорреляция остатков отсутствует.