Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y= T + S + E,

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример 6.2. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.6.3).

Таблица 6.3

№ квартала	Потребление электроэнергии	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты

	6,0	-	-	-	-
	4,4	24,4	6,1	-	-
	5,0	25,6	6,4	6,25	–1,25
	9,0	26,0	6,5	6,45	2,55
	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
	4,8	28,0	7,0	6,875	–2,075
	6,0	28,8	7,2	7,1	–1,1
	10,0	29,6	7,4	7,3	2,7
	8,0	30,0	7,5	7,45	0,55
	5,6	31,0	7,75	7,625	–2,025
	6,4	32,0	8,0	7,875	–1,475
	11,0	33,0	8,25	8,125	2,875
	9,0	33,6	8,4	8,325	0,675
	6,6	33,4	8,35	8,375	–1,775
	7,0	-	-	-	-
	10,8	-	-	-	-

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем у_t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 6.3);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 6.3);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.6.3).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 6.3). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты

Š₁=(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;

Š₂=(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;

Š₃=(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;

Š₄=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту S_i = Š_i – k.

Таким образом, получаем

S₁ =0,581; S₂ = –1,979; S₃ = –1,294; S₄ =2,69.

Занесем полученные значения в табл.6.4 для соответствующих кварталов (гр.3).

Таблица 6.4

t	y_t	S_t	T+E= y_t –S_t	T	T+S	E=y_t –(T+S)	E²

	6,0	0.581	5.419	5.902	6.483	–0.483	0.2333
	4,4	–1.977	6.337	6.088	4.111	0.289	0.0835
	5,0	–1.294	6.294	6.275	4.981	0.019	0.0004
	9,0	2.69	6.31	6.461	9.151	–0.151	0.0228
	7,2	0.581	6.619	6.648	7.229	–0.029	0.0008
	4,8	–1.977	6.777	6.834	4.857	–0.057	0.0032
	6,0	–1.294	7.294	7.02	5.727	0.273	0.0745
	10,0	2.69	7.31	7.207	9.896	0.104	0.0108
	8,0	0.581	7.419	7.393	7.974	0.026	0.0007
	5,6	–1.977	7.577	7.58	5.603	–0.03	0.0009
	6,4	–1.294	7.694	7.766	6.472	–0.072	0.0052
	11,0	2.69	8.31	7.952	10.642	0.358	0.1282
	9,0	0.581	8.419	8.139	8.72	0.28	0.0784
	6,6	–1.977	8.577	8.325	6.348	0.252	0.0635
	7,0	–1.294	8.294	8.519	7.218	–0.218	0.0475
	10,8	2.69	8.11	8.698	11.388	–0.588	0.3457

Шаг 3. Вычисляем T+E= y_t – S_t (гр.4 табл.6.4).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 + 0,186t. Подставляя в это уравнение t=1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.6.4).

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 6.4).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.6.4).