Геодезические задачи
Ориентирование линий. Прямая и обратная
Лекция 2.
Самостоятельное изучение.
Понятие о равноугольной проекции Гаусса-Крюгера и общегосударственной системе плоских прямоугольных координат
Литература: Лекции по инженерной геодезии (с фрагментами методического комплекса). Учебное пособие/ В.П. Абрамов; под редакцией О.С. Разумова. – Тула, 2005. С 8–9.
Ориентировать линию местности – значит определять ее направление относительно некоторого другого направления, принятого за исходное. В геодезии в качестве исходного принимаются направления: 1) истинного меридиана; 2) магнитного меридиана; 3) оси абсцисс или линии, ей параллельной. В этой связи различают три вида ориентирных углов для одной и той же линии.
Астрономический (истинный) азимут – горизонтальный угол А, отсчитанный в начальной точке линии по ходу часовой стрелки от северного направления истинного меридиана этой точки до заданного направления линии (рис.1.10). Угол А может принимать значения от 0° до 360°.
Азимут линии в разных ее точках меняется на угол g между направлением меридианов в этих точках. Этот угол называют сближением меридианов и, как следует из рис.1.10, А1=А+g. Истинный азимут может быть определен на местности из астрономических наблюдений или при помощи гироскопического теодолита.
Для каждой линии принято различать прямые и обратные направления. Они отличаются друг от друга на 180° и угол g сближения меридианов, то есть
. (12)
Сам угол равен 
, (13)
где Dl – разность долгот точек; j – средняя широта.
Магнитный азимут – горизонтальный угол Am, отсчитанный в начальной точке линии от северного направления магнитного меридиана (магнитной стрелки) по направлению движения часовой стрелки до направления заданной линии. Am может быть измерен на местности с помощью буссоли (компаса).
Дирекционный угол a отсчитывается от положительного направления оси абсцисс или линии, ей параллельной, по ходу часовой стрелки до заданного направления (рис.1.11). Прямой и обратный дирекционные углы отличаются друг от друга на 180°, то есть
. (14)
Ориентирные углы связаны друг с другом определенными соотношениями. Так, отклонение северного конца магнитной стрелки от направления истинного меридиана называется склонением d магнитной стрелки. Эта величина зависит от состояния магнитного поля Земли, которое непостоянно во времени. В районах магнитных аномалий значение d может изменяться в значительных пределах и ориентирование по магнитному азимуту там ненадежно.
Условно принято считать восточное склонение положительным, а западное отрицательным.
На рис.1.12 показано восточное склонение +d, и в общем случае связь между истинным и магнитным азимутом выражается формулой
, (15)
(в формулу (15) d входит со своим знаком).
Угол g, на который отклоняется в данной точке линия, параллельная оси абсцисс, от направления истинного меридиана, называется Гауссовым сближением меридианов. Как было сказано выше, в проекции Гаусса–Крюгера за ось абсцисс принимается осевой меридиан зоны, поэтому для точки с известными географическими координатами j и l Гауссово сближение меридианов может быть вычислено по формуле
, (16)
где lN – долгота осевого меридиана зоны (10).
 |
Таким образом, для точек, лежащих к востоку от осевого меридиана, сближение меридиана положительное, а западное сближение отрицательное. На осевом меридиане и экваторе g=0°. Связь между истинным азимутом А и дирекционным углом a выражается соотношением
(17)
(формула имеет алгебраический смысл).
На топографических картах под южной рамкой обычно указывается среднее значение склонения магнитной стрелки и Гауссова сближения меридианов.
Для ориентирования линий используют еще один ориентирный угол – румб (рис.1.13). Это острый горизонтальный угол r между ближайшим концом меридиана (или оси абсцисс) и направлением данной линии. Перед численным значением румба указывают его направление относительно сторон света. Связь между азимутами (дирекционными углами) и румбами показана в табл.1.1.
Таблица 1.1
Связь между румбами и дирекционными углами
| Четверть | А (или a) | Румб r |
| 0° – 90° | СВ: r1=a1 | |
| 90° – 180° | ЮВ: r2=180°-a2 | |
| 180° – 270° | ЮЗ: r3=a3-180° | |
| 270° – 360° | СЗ: r4=360°-a4 |
Прямая геодезическая задача состоит в вычислении координат точки 2 при известных координатах точки 1, расстоянию S12 и дирекционному углу линии 1-2 (рис.1.14).
Из треугольника 1С2 следует:
, 
,
где Dх12 и Dх12 – приращения координат.
Поэтому
(18)
Знаки у приращений координат определяются знаками тригонометрических функций cosa и sina.
Обратная геодезическая задача заключается в определении длины линии S и ее дирекционного угла a по координатам концов этой линии, то есть в задаче дано x1, y1, x2, y2. Требуется вычислить a12 и S12. Из треугольника 1С2 (см. рис.1.14) следует, что
, (19)
. (20)
При решении этой задачи на калькуляторе по команде arctg на табло высвечивается значение румба данной линии в градусах и долях градуса. В соответствии со знаками приращений координат (знаки cos и sin) нужно по табл.1.2 определить номер четверти, в которой проходит линия, и от румба перейти к дирекционному углу (см. табл.1.1), выразив его в градусах, минутах и секундах дуги.
Таблица 1.2
| Четверть | Dx (cosa) | Dy (sina) |
| + | + | |
| - | + | |
| - | - | |
| + | - |