Описание связей между макроэкономическими переменными.
Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам
Э ŷх1(х2) = а1х1 / у; Э ŷх2(х1)= а2х2 / у. (3.3)
Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если изменить один из факторных признаков на один процент не меняя значения остальных.
В рассматриваемом выше примере 3.1
Эŷх1(х2)=0,06815·6080,5/1313,9=0,315; Эŷх2(х1)=380.47·3,1/1313,9=0,898.
Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,315 процента, а увеличение на один процент (условно) размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к росту расходов на питание на 0,898 процента.
Пример 3.2. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.
Данные приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
| N | Квартплата, руб. | Площадь квартиры, м2 | Количество человек |
| y | x1 | x2 | |
| 244,19 | 46,0 | ||
| 450,50 | 80,2 | ||
| 199,86 | 43,8 | ||
| 192,00 | 48,9 | ||
| 98,50 | 12,0 | ||
| 356,59 | 59,8 | ||
| 381,54 | 51,9 | ||
| 118,48 | 18,0 | ||
| 324,40 | 53,8 | ||
| 182,50 | 16,0 | ||
 =254,86
|  1=43,04
| 2=2,5
|
Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ=а0+а1x1+а2x2. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 3.3.
Таблица 3.3
| N | yx1 | yx2 | x12 | x22 | x1x2 |
| 11232,74 | 732,57 | ||||
| 36130,1 | 1351,5 | 6432,04 | 240,6 | ||
| 8753,87 | 199,86 | 1918,44 | 43,8 | ||
| 9388,8 | 2391,21 | 97,8 | |||
| 98,5 | 12,0 | ||||
| 21324,08 | 1069,77 | 3576,04 | 179,4 | ||
| 19801,93 | 1526,16 | 2693,01 | 207,6 | ||
| 2132,64 | 236,96 | ||||
| 17452,72 | 973,2 | 2894,44 | 161,4 | ||
| 547,5 | 48,0 | ||||
|  1=13031,9
| 2=712
|  =2274,58
|  =7,1
| х1х 2=116,46 |
Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:
а0+ 
1a1+ 2a2 =
1а0+ a1+ х1х 2a2 = 1
2а0+ х1х 2a1+ a2 = 2.
Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.
Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему
а0+43,04 a1+2,5 a2 = 254,86
43,04 а0+2274,58 a1+116,46 a2 = 13031,89
2,5 а0+116,46 a1+7,1 a2 = 712.
Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством
| ∆ = | 43,04 2,5 | 43,04 2274,58 116,46 | 2,5 116,46 7,1 | = 1 | 2274,58 116,46 | 116,46 7,1 | - 43,04 | 43,04 2,5 | 116,46 7,1 |
| + 2,5 | 43,04 2,5 | 2274,58 116,46 | =1×(16149,518-13562,93)-43,04×(305,58-291,1)+2,5× |
×(5012,44–5686,45)=2586,586 – 621,07 – 1685,025=280,49.
Получили, что ∆=280,49≠0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера
, 
.
| ∆а0 = | 254,86 13031,89 | 43,04 2274,58 116,46 | 2,5 116,46 7,1 | = 254,86 | 2274,58 116,46 | 116,46 7,1 | – 43,04× |
| 13031,89 | 116,46 7,1 | + 2,5 | 13031,89 | 2274,58 116,46 | = 254,86×(16149,52-13562,93)- |
- 43,04×(92526,42–82919,52) + 2,5×(1517693,9–1619500,96) = 659218,33 –
– 413480,98–254515,25= –8777,9.
| ∆а1= | 43,04 2,5 | 254,86 13031,89 | 2,5 116,46 7,1 | =1 | 13031,89 | 116,46 7,1 | – 254,86 | 43,04 2,5 | 116,46 7,1 | |||
| + 2,5 | 43,04 2,5 | 13031,89 | =1×(92526,42–82919,52)–254,86×(305,58–91,15)+2,5× | |||||||||
×(30644,48–32579,72)=9606,9–3677,63–4838,1=1091,2.
| ∆а2= | 43,04 2,5 | 43,04 2274,58 116,46 | 254,86 13031,89 | = 1 | 2274,58 116,46 | 13031,89 | – 43,04× |
| 43,04 2,5 | 13031,89 | + 254,86 | 43,04 2,5 | 2274,58 116,46 | = 1×(1619500,96–1517693,91) – |
– 43,04 ×(30644,48 – 32579,73) + 254,86 × (5012,44 –5686,45) =
=101807,05+83293,16–171778,19=13322,02.
Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.
а0 = –8777,9/280,49= –31,3;
а1 = 1091,2/280,49= 3,89;
а2 = 13322,02/280,49= 47,5,
следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:
ŷ= –31,3+3,89 x1+47,5 x2.
Коэффициент регрессии модели а1 =3,89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3,89 руб., а коэффициент а2=47,5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47,5 руб.
Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.3.4).
Таблица 3.4
| номер | y | (y -  )2
| ŷ | ε=ŷ - у | ε2 |
| 244,19 | 113,85 | 290,14 | 45,9 | 2106,8 | |
| 450,50 | 38275,01 | 423,1 | –27,4 | 750,8 | |
| 199,86 | 186,52 | –13,3 | 176,9 | ||
| 192,00 | 3951,38 | 253,88 | 61,9 | 3831,6 | |
| 98,50 | 24448,45 | 62,88 | –35,6 | 1267,4 | |
| 356,59 | 10348,99 | 343,79 | –12,8 | 163,8 | |
| 381,54 | 16047,82 | 360,61 | –20,9 | 436,8 | |
| 118,48 | 18599,50 | 133,74 | 15,3 | 234,1 | |
| 324,40 | 4835,81 | 320,47 | –3,9 | 15,2 | |
| 182,50 | 5235,97 | 173,5 | –9 | ||
| ∑/n | =254,86
| 12488,18 | 906,4 |
Совокупный коэффициент детерминации
R2 = 1 – 906,4/12488,18= 0,927.
Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.