Поперечного сечения

Напряжения и перемещения в вале прямоугольного

Кручение брусьев некруглого поперечного сечения.

А
·А
Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого поперечного сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Эти задачи рассматриваются в теории упругости. Причина этого в том, что у таких брусьев гипотеза плоских сечений не применима, так как поперечные сечения заметно искривляются, что и приводит к существенному изменению распределения напряжений.

Рис. 7.12
б)
а)
б)
Отметим некоторые закономерности распределения напряжений в сечениях некруглой формы, а затем приведем готовые решения, полученные методами теории упругости для некоторых форм поперечных сечений. Прежде всего, покажем, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек вблизи контура направлены по касательной к нему. Для этого
Рис.7.12
положим, что в некоторой точке А касательное напряжение τ направлено под углом, тогда его можно разложить по направлениям касательной и нормалик контуру сечения (7.12, а). По закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно возникнуть напряжение , но эта поверхность свободна от нагрузки, следовательно, , направлено по касательной к контуру.

Аналогично можно показать, что в сечении с внешними углами напряжения равны нулю. Разложим напряжения вблизи угла на две составляющиеи (7.12,б), так как парные им напряжения и равны нулю, то и в ноль обращаются и. Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.

На рис. 7.13 показана эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения, полученная методами теории упругости. Как видим, в углах напряжения равны нулю, а наибольшей величины они достигают в точках А по средине больших сторон:

, (7.15)

Рис.7.13
в точках В касательные напряжения вычисляются по формуле: .

Здесь h – размер большой стороны, b – размер меньшей

стороны прямоугольника.

Коэффициенты α, β и η зависят от отношения сторон h/b.

Угол закручивания находится из выражения . (7.16)

Коэффициент так же является функцией отношения сторон. При h/b≥10 .

Таблица

h/b 1,5 1,75 2,5 ∞
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
η 1, 00 0,859 0,82 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742  

Для формул (7.15), (7.16) введем геометрические параметры:

,

тогда они примут вид