Геометрические характеристики простейших фигур

Рассмотрим геометрические характеристики прямоугольника, треугольника, круга и кольца.

Прямоугольник: выделим элементарную площадку dA ═ b·dy (рис.2.2). Тогда

І_х = у² dA = у² b dy = у³ b ∕ 12| = bh³ ∕ 12.

dy

h

у

Рис.2.3

Рис.2.2

dy

b

 

Треугольник: элементарная площадка запишется выражением dA═b(у)·dy (рис.2.3). Из подобия треугольников следует b(у) ∕ b = (h─y) ∕ h, откуда получим

b(у) =b( 1- ), І_х = у² dA =у² b( 1- ) ·dy = b(у² – ) dy = b(– )|= bh³ ∕ 12.

 

Круг:выделим элементарную площадку dA (рис.2.4) в виде кольца с радиусами ρ и ρ+dρ, т.е., dA=2πρdρ .

Полярный момент инерции І_ρ ═ρ²dA ═ρ²2πρdρ ═2πρ³dρ ═2πρ⁴ ∕ 4|═

Так как І_ρ = І_х + I_y,а для круга І_х═ І_y,тоІ_х═ І_y═ .

Кольцо:моменты инерции кольца сдиаметрами D и d ( рис. 2.5)определятся как разница моментов инерции круга с диаметром D и круга с диаметром d

І_х = І_у=– = (1- ).

Введем обозначение ═α ,тогда

І_х = І_у=(1 – α⁴),І_ρ=( 1 – α⁴).