Лекция № 9.

Тема: примеры рекуррентных соотношений

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Задача о ханойской башне

2. Разрезание пиццы

3. Задача Флавия

Краткое содержание лекционного материала

1. Задача о ханойской башне. Эту головоломку придумал французский математик Э. Люк в 1883 г. Формулировка задачи «Ханойская башня»:

Есть три стержня: A, B и C. На стержень A надето 8 колец: наверху самое маленькое, каждое следующее больше предыдущего, а внизу самое большое. Два других стержня пусты. Необходимо перенести все кольца со стержня A на стержень C, чтобы на стержне C кольца были в том же порядке, в котором они исходно находились на стержне A. Брать за один ход несколько колец нельзя. Кроме того, никогда нельзя класть большее кольцо поверх меньшего.

Рекуррентное отношение для решения задачи «Ханойская башня»: пусть – число ходов для решения задачи, где – число колец; тогда представим, что верхние колец перенесены на стержень (за ходов); тогда за один ход нижнее кольцо перенесем на стержень ; затем за ходов верхние колец на стержень ; получим . Значит, .

Алгоритм: нечетный шаг – нужно перемещать верхнее кольцо, четный шаг – произведем единственно возможное перемещение оставшихся колец. Если перенумеровать кольца по порядку, то четные и нечетные кольца будут перемещаться в различных направлениях по кругу.

2. Разрезание пиццы. Впервые эта задача была решена в 1826 г. швейцарским математиком Я. Штейнером. Формулировка задачи: на какое максимальное число областей можно разделить плоскость прямыми?

Рассмотрев случаи можно подумать, что . Однако уже при получается . Рекуррентное соотношение: .

Решение: .

3. Задача Флавия основана на легенде, что отряд Флавия не пожелал сдаваться в плен блокировавшим пещеру превосходящими силам римлян. Воины, в составе сорока человек, стали по кругу и договорились, что каждые два воина будут убивать третьего, пока не погибнут все. При этом двое воинов, оставшихся последними в живых, должны были убить друг друга. Иосиф Флавий, командовавший этим отрядом, якобы быстро рассчитал, где нужно встать ему и его товарищу, чтобы остаться последними, но не для того, чтобы убить друг друга, а чтобы сдать крепость римлянам.

В более общей формулировке задачи участвует n воинов, стоящих по кругу, и убивают каждого m-го. Требуется определить номер k начальной позиции воина, который останется последним.

 

·
Лекция № 10.

Тема: графы и их способы задания

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Виды графов

2. Степени вершин

3. Помеченные графы

4. Изоморфизмы графов и орграфов

5. Матрицы смежности и инцидентности

Краткое содержание лекционного материала

1. Виды графов. Граф состоит из двух множеств. . Элементы множества называются вершинами, точками или узлами. . Неупорядоченные пары называются ребрами, линиями или дугами.

Если , то говорят, что ребро соединяет вершины и . При этом вершины u и v называются концами ребра .

Диаграмма графа G=(V,E) представляется в виде точек (или кружков) на плоскости, каждая из которых изображает вершину графа. Ребро графа изображается отрезком или дугой, соединяющей вершины u и v.

Диаграмму графа также называют графом.

 

Две вершины графа u и v называются смежными, если они соединены некоторым ребром e графа. Вершина u и ребро e называются инцидентными, если u является концом ребра e. Два ребра e и f графа называются смежными, если они инцидентны одной и той вершине u графа.

(p,q)-граф – это граф с p вершинами и q ребрами

(p³1 и ).

Тривиальный (p,0)-граф не содержит ни одного ребра.

Полный граф – это -граф, содержащий все возможные ребра между вершинами.

Кроме графов (или неупорядоченных графов) рассматриваются и другие виды графов.

Мультиграф отличается от графа тем, что две вершины могут быть соединены двумя и более ребрами. При этом ребра, соединяющие две вершины в количестве двух и более, называются кратными.

Псевдограф отличается от графа тем, что в нем могут быть и кратные ребра, и петли (ребра, соединяющие вершины с самими собой).

Ориентированный граф (или орграф) G=(V,E) отличается от графа тем, что E является множеством упорядоченных пар различных вершин множества V. На диаграмме две точки орграфа соединятся не линиями, а стрелками.

В орграфах нет петель. Бинарное отношение графически представляются орграфом, в котором соотношение изображается петлей, а соотношения и двусторонней стрелкой (объединяются две противоположно направленные стрелки).

2. Степени вершин. Степень вершины u – это число ребер, инцидентных вершине u. Вершина u называется изолированной (концевой), если ().

Следующая теорема была первой в истории теории графов (1936 г.)

Теорема 1 (Л.Эйлер). Сумма степеней всех вершин ()-графа равна удвоенному числу его ребер: .

Доказательство. При пересчете ребер, инцидентных всем вершинам, каждое ребро считается два раза.

Следствие. В графе число вершин с нечетными степенями четно.

Доказательство. Пусть вершины имеют нечетные степени, а вершины – четные степени. Тогда

.

3. Помеченные графы. Граф называется помеченным (или перенумерованным), если его точки обозначены попарно различными пометками.

Теорема 2. Существует помеченных графов с числом вершин n и помеченных (n,m)-графов.

Доказательство. Неупорядоченная пара {u,v} различных элементов u и v из множества V с числом элементов n есть сочетание без повторений из n элементов по 2. Поэтому число всех возможных ребер графа равно C_n².

Каждый граф имеет множество ребер – некоторое подмножество множества из C_n² элементов. Число всех подмножеств k-множества равно 2^k. Число всех -подмножеств k-множества равно .

4. Изоморфизмы графов и орграфов. Графы G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) называются изоморфными, если существует биекция j: V₁®V₂, которая сохраняет отношение смежности между вершинами графа:

"u,vÎV₁ ({u,v}ÎE₁Û{j(u),j(v)}ÎE₂).

Пример изоморфных графов:

В этом примере биекция является изоморфизмом графов.

Графы G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) могут быть неизоморфными, если:

1) ;

2) ;

3) для каждого графы имеют различные числа вершин степени .

Графы могут быть неизоморфными, даже если все перечисленные три условия выполнены:

Орграфы G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) называются изоморфными, если существует биекция j: V₁®V₂, которая сохраняет отношение смежности между вершинами орграфа:

"u,vÎV₁ ((u,v)ÎE₁Û(j(u),j(v))ÎE₂).

Пример. Приведем все попарно неизоморфные (3,2)-орграфы:

 

 

5. Матрицы смежности и инцидентности. Матрицей смежности графа (орграфа) называется матрица , определяемая следующим образом: для всех

Матрицы смежности представляют собой квадратные матрицы с элементами 0 и 1, у которых по главной диагонали расположены нули. Матрица смежности графа симметрична относительно главной диагонали.

Матрицей инцидентности -графа называется прямоугольная -матрица , определяемая следующим образом: для всех

Матрицей инцидентности -орграфа называется прямоугольная -матрица , определяемая следующим образом: для всех