Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача. По известным координатам х₁ и у₁ точки 1, дирекционному углу a_1-2 и расстоянию d_1-2 до точки 2 требуется вычислить ее координаты х₂, у₂.

Рис. 3.5. К решению прямой и обратной геодезических задач

Координаты точки 2 вычисляют по формулам (рис. 3.5):

(3.4)

где Dх, Dу - приращения координат, равные

(3.5)

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х₁, у₁ точки 1 и х₂, у₂ точки 2 требуется вычислить расстояние между ними d_1-2 и дирекционный угол a_1-2.

Из формул (3.5) и рис. 3.5 видно, что

. (3.6)

Для определения дирекционного угла a_1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса

w =,

лежащее в диапазоне -90°£w£+90°, тогда как искомый дирекционный угол a может иметь любое значение в диапазоне 0°£ a £ 360°.

Формула перехода от w к a зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков разностей Dy = y₂ - y₁ и Dx = х₂ - х₁(см. таблицу 3.1 и рис. 3.6).

Таблица 3.1

	I четверть	П четверть	Ш четверть	IV четверть
Dх	+	-	-	+
Dу	+	+	-	-
w	+	-	+	-
Формулы	a=w	a=w+180°	a=w+180°	a=w+360°

 

Рис. 3.6. Дирекционные углы и главные значения арктангенса в I, II, III и IV четвертях

 

Расстояние между точками вычисляют по формуле

(3.6)

или другим путем – по формулам

(3.7)

Программами решения прямых и обратных геодезических задач снабжены, в частности, электронные тахеометры, что дает возможность непосредственно в ходе полевых измерений определять координаты наблюдаемых точек, вычислять углы и расстояния для разбивочных работ.