Уравнение Шрёдингера

1. Уравнение Шрёдингера. В 1925 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер сконструировал дифференциальное уравнение для волновой функции де-Бройля (подробнее см. [1], с.с. 137-178). . Общее уравнение Шрёдингера (4.1)

Здесь – мнимая единица, ħ=hç2π, m – масса частицы, U – потенциальная энергия частицы, функция координат, t – время, ∆ – оператор Лапласа.

Для систем в стационарном состоянии, когда все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени, уравнение Шрёдингера имеет вид:

. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (4.2)

Здесь E – полная энергия системы, постоянная величина.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Его справедливость доказывается тем, что все вытекающие из него следствия очень хорошо согласуются с опытом. Поэтому до настоящего времени уравнение Шрёдингера вызывает у некоторых физиков чувство полумистического восхищения.

2. Вероятностный смысл функции y. В том же 1926 г. немец Макс Борн показал, что функция y имеет вероятностный смысл. Квадрат модуля волновой функции (произведение функции y на комплексно-сопряжённую y ^* ) определяет плотность вероятности p нахождения частицы в точке пространства, . Вероятность P нахождения частицы в объёме V : . (4.3)

Из вероятностного смысла волновой функции y следует, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить положение частицы в пространстве или определить траекторию её движения. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местонахождении частицы или о траектории её движения некорректно. С помощью волновой функции y можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в разных по величине и положению областях пространства.

3. Частица в одномерной потенциальной яме. Математический аппарат квантовой механики изучается в курсах теоретической физики. Число задач, в которых уравнение Шрёдингера решается точно, невелико. В большинстве случаев решения приближённые.

Самая простая задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме рассматривается здесь для того, чтобы познакомиться с основами квантовой механики и убедиться в том, что условия квантования энергии заложены в самом уравнении Шрёдингера.

Потенциальной ямой называется область пространства, где потенциальная энергия частицы U существенно меньше, чем вне этого пространства. Наиболее простой является модель бесконечно глубокой потенциальной ямы. Она может задаваться двумя способами. В одном случае энергия частицы U за пределами ямы принимается равной нулю, U_вне = 0, внутри – принимается равной минус бесконечности, U_внутри = -∞. У такой ямы нет дна.

В другом случае у потенциальной ямы есть дно. Потенциальная энергия частицы U внутри ямы принимается равной нулю, U_внутри = 0, а за пределами ямы стремится к плюс бесконечности, U_вне = + ∞. Здесь мы ограничимся этим вторым представлением, поскольку уравнение Шредингера получается проще, и поставленная задача решается быстрее.

Рассмотрим состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме (Рис.15). Это значит, что потенциальная энергия U частицы удовлетворяет условиям: (4.4)

Здесь l – ширина потенциальной ямы вдоль оси ОХ. Так как в задаче нет изменяющихся во времени силовых полей, то она соответствует уравнению Шрёдингера для стационарных состояний (4.2). В декартовых координатах, в которых составлена задача, выражение ∆y имеет вид: . (4.5)

Задача одномерная, члены, содержащие переменные y и z, выпадают. Уравнение (4.2) упрощается. (Напомним, что в яме U = 0). или . (4.6)

Стенки ямы непроницаемы для частицы. Выйти за пределы ямы она не может. Отсюда следуют граничные условия для волновой функции y : (4.7)

Обозначим коэффициент Тогда (4.8)

Это уравнение напоминает уравнение движения незатухающего гармонического осциллятора. Разница в том, что в осцилляторе независимая переменная – время t, а здесь– координата x. Решение уравнения (4.8) имеет вид: (4.9)

4. Квантование энергии. Найдём постоянные интегрирования А и α. Воспользуемся вначале краевыми условиями (4.7). (4.10)

Первое условие даёт (Случай А = 0 означает, что в любой точке ямы. Но это возможно лишь при отсутствии там частицы, что противоречит условию задачи).

Из второго условия также нельзя определить амплитуду А. Но из него вытекает условие квантования энергии частицы. Действительно, При и отсюда следует: где n = 1, 2, 3, ... (4.11)

Значение n = 0 исключено, так как здесь получается А это значит y = 0 при любых x. Итак, из условия (4.11) следует: (4.12)

В уравнении Шрёдингера уже заложен дискретный спектр значений энергии частицы Е. Уравнение Шрёдингера (4.8) имеет решение не при любых значениях Е, а лишь при некоторых, определяемых формулой (4.12). Эти избранные значения Е называются собственными значениями энергии Е.

Хотя потенциальная энергия частицы во всех точках ямы равна нулю, кинетическая энергия частицы не может быть равной нулю. Этому препятствуют два обстоятельства. Во–первых, при равенстве нулю потенциальной и кинетической энергии частица будет находиться в единственном, вполне определенном состоянии, что противоречит принципу неопределенности Гейзенберга. Во-вторых, значение Е = 0 не удовлетворяет уравнению Шредингера. Наименьшая кинетическая энергия частицы соответствует n =1, E₁ = π²ћ²ç2ml². Это так называемая нулевая энергия. В заданной потенциальной яме нулевая энергия не может быть отнята от частицы. Чтобы ее изменить, надо изменить саму яму.

Например, атомы гелия даже при абсолютном нуле температуры (≈0,001 К) не находятся в покое. Благодаря наличию нулевой энергии они совершают нулевые колебания. Поскольку силы молекулярного притяжения в гелии слабы, то этих колебаний достаточно, чтобы гелий оставался в жидком состоянии при атмосферном давлении даже при Т ≈ 0 К.

5. Нормировка волновой функции. Вторая постоянная интегрирования – амплитуда А функции y находится из условия нормировки. Суть этого условия в том, что достоверно известно, что частица находится в яме. Вероятность P нахождения частицы в яме равна 1.
Отсюда (4.13)

, (4.14)

Решение уравнения (4.8) имеет вид:

(4.15)

Значения y, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера, называются собственными функциями уравнения Шрёдингера.

На рис.16-а слева показан график функции y в яме при разных квантовых числах n = 1, 2, 3, … То, что значения y в каждой точке пространства не меняются во времени (стационарная задача) позволяет толковать её как стоячую волну, образованную сложением бегущей волны (слева направо) с упруго отражённой от стенки x = l (справа налево).

При n = 1 наиболее вероятное пребывание частицы в области середины ямы x = lç2. При n = 2 обнаружить частицу в центре маловероятно. Зато равновероятно найти её вблизи центров x = lç4 и x =3lç4 «половинок» ямы (рис.16-а справа).

Из уравнения lç2 = lçn найдётся длина волны l_n = 2lçn, характеризующая y.

6. Комплексная форма функции y. Пусть вдоль оси ОХ двигается фотон с энергией и импульсом В классическом приближении фотону соответствует электромагнитная волна – бесконечная синусоида.

(4.16)

Здесь А – величина электрического или магнитного поля волны. Фазу волны можно представить через энергию и импульс фотона. Так как n = Eçh, то . (4.17)

Волновая функция фотона (4.18)

То, что величина А есть напряжённость электрического поля, для описания волновых свойств фотона не имеет принципиального значения. Плотность энергии поля электромагнитной волны пропорциональна квадрату напряжённости поля, а плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства соответствует квадрату волновой функции частицы. Выражение (4.18) можно формально применить для описания волновых свойств и других нейтральных частиц – нейтрино, нейтрона ...

Для описания волновых свойств электрически заряженных частиц в волновую функцию добавляется ещё мнимая часть: (4.19)

Здесь – мнимая единица. Компактнее и удобнее экспоненциальная форма записи функции y. Так как по формуле Эйлера (4.20)

то (4.21)

7. Ротатор. Квантование момента импульса. Ротатором в квантовой механике называется система, состоящая из центра притяжения и частицы массой m, которая может двигаться вокруг него (атом). Точное решение уравнения Шрёдингера для ротатора является сложной задачей. Поэтому сформулируем здесь основные итоги.

В отличие от классической механики определённые значения одновременно могут иметь только момент импульса L и одна из проекций момента импульса на выделенную координатную ось, например L_Z. Момент импульса принимает дискретный ряд значений

, (4.22)

где l - так называемое азимутальное квантовое число. В зависимости от энергетического уровня число l может принимать значения от 0 до п – 1, где п – главное квантовое число.

Проекция момента импульса на выделенную ось Z также принимает дискретный ряд значений, где m = 0, ±1,…± l так называемое магнитное квантовое число. (4.23)

Проекция момента импульса на произвольную ось Z не может превосходить его модуля или Þ | m | £ | l | (4.24)

Заметим, что ось Z задаётся электрическим или магнитным полем, с которым взаимодействует дипольный или магнитный момент электронной оболочки атома. В этом случае она совпадает с направлением силовых линий поля.

Квантовое число m определяет ориентацию момента импульса L относительно оси Z. При l = 1 модуль момента импульса Это радиус сферы, в которой вписаны три конуса с вершинами в центре сферы. При m = 0 конус вырождается в диск, L_z = 0. При m=+1 получаем конус в верхней части, его высота L_z равна +ћ. При m = –1 получаем конус в нижней части, его высота L_z = –ћ. То, что известна одна проекция на ось, можно толковать с точки зрения классической физики так, что вектор L прецессирует вокруг оси ОZ по образующей конуса (рис16-а).

Если l = 2, то Радиус сферы стал больше, больше стало и число возможных ориентаций вектора L, при m = 0, ±1, ±2. Проекции L_z по-прежнему кратны ћ.

8. Принцип причинности в квантовой механике. Классическая механика, описывая движение макротел, создаёт детерминированную, то есть причинно-следственную картину мира. Это означает, что если имеется система k материальных точек m₁, m₂, …m_i в определённом силовом поле, известны начальные координаты, скорости и уравнения движения каждой материальной точки этой системы ...... (4.25)

то состояние системы определено на любой момент, как в прошлом, так и в будущем.

Исходя из открытого им принципа неопределённости, Гейзенберг предположил, что принцип причинности в микромире нарушается. Поскольку нельзя однозначно определить координаты и импульсы микрочастиц в системе, то, по мнению Гейзенберга, нельзя и спрогнозировать однозначно состояние микросистемы на какой-то момент времени в будущем.

Представляется, что этот вывод Гейзенберга неверен. Дело в том, что при переходе от макро- в микромир меняется способ описания состояния системы. Вместо координат и импульсов состояние системы однозначно определяется волновой функции y. Причинность приобретает статистический характер. Динамический детерминизм переходит в статистический детерминизм.

9.Туннельный эффект – это чисто квантовое явление. Суть его в том, что микрочастица способна преодолевать потенциальный барьер не только в тех случаях, когда её полная энергия Е больше высоты потенциальной энергии U барьера. Оказывается, в микромире существует отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу с энергией E < U по другую сторону барьера, что в классической механике исключено. Рассмотрим два случая.

а.Взаимодействие частицы с потенциальным барьером. Пусть частица с полной энергией Е движется вдоль оси ОХ и взаимодействует с энергетическим барьером, высота которого U>E (рис.17, вверху).

Оказалось, что коэффициент отражения частицы от барьера R = 1, а коэффициент пропускания T = 1 – R = 0. Это соответствует классическим представлениям. Но плотность вероятности обнаружить частицу массой m за барьером не равна нулю. Она определяется выражением:

(4.26)

На рис.17 внизу показана зависимость |y|² от глубины проникновения х для электрона (m=9,1·10^–31 кг) при высоте потенциального барьера U – E = 1 эВ. Принято А = 1. Плотность вероятности обнаружить частицу на границе барьера (х=0) |y|² = A² = 1, на глубине 0,1 нм – около 30%, на глубине 0,5 нм – 0,5%. И уже только на глубине 1 нм (10 атомных поперечников) и далее |y|² становится исчезающе малой величиной.

Итак, микрочастицы отражаются от потенциального барьера, но не как от непроницаемой стенки, а проникая на некоторую глубину. Это похоже на полное внутреннее отражение световой волны на границе с оптически менее плотной средой, когда волна «провисает» сквозь границу на некоторую глубину, соизмеримую с длиной волны λ.

б.Взаимодействие частицы с барьерной стенкой конечной толщины. Пусть частица с энергией Е, двигаясь вдоль оси ОХ, взаимодействует со стенкой высотой U > E и толщиной d (рис.18, вверху). Области 1 и 3 по обе стороны стенки одинаковы.

Оказалось, что коэффициент пропускания Т определяется выражением:

(4.27)

Так как Т ≠ 0, то R ≠ 1. Не всегда микрочастица отражается от стенки. Существует отличная от нуля вероятность, что частица пройдёт сквозь стенку. Плотность вероятности |y|² уменьшается с толщиной стенки d очень быстро. На рис.18 внизу показана зависимость коэффициента пропускания Т для электрона от толщины стенки d при высоте потенциального барьера U – E = 5 эВ. При d = 0,1 нм Т = 10%, при d = 0,2 нм Т ≈ 1%. При d>0,5 нм величина Т становится исчезающе малой.

Прохождение через потенциальный барьер не сопровождается изменением энергии частицы. Она выходит из пределов барьера с той энергией, с какой в него попадает. В выражении «туннельный эффект» подчёркивается тот факт, что частица не взбирается на вершину барьера. Она проходит сквозь него.