ОЦЕНИВание неопределенностИ измерениЙ
Оценки составляющих, входящих в суммарную неопределенность, могут быть получены путем оценивания как по типу А, так и по типу В, причем каждая составляющая должна быть представлена оценкой соответствующей дисперсии или значением корня квадратного из нее. В Рекомендации INC-1 по поводу неопределенностей, оцениваемых разными методами, сказано:
1 Неопределенность в результате измерения обычно состоит из нескольких составляющих, которые можно сгруппировать в две категории в соответствии со способом оценки их численного значения:
А. составляющие, которые оцениваются путем применения статистических методов,
В. составляющие, которые оцениваются другими способами…
Не всегда можно провести простую параллель между классификацией по категориям А и В и ранее используемой классификацией по "случайным" и "систематическим" неопределенностям. Термин "систематическая неопределенность" может вносить неясность и поэтому его следует избегать.
2 Составляющие в категории А характеризуются оцененными дисперсиями s2i, (или оцененными стандартными отклонениями si) и числом степеней свободы vi. В случае необходимости следует указать ковариации.
3. Составляющие в категории В должны характеризоваться величинами и2j , которые можно рассматривать как аппроксимации к соответствующим дисперсиям, существование которых предполагается.
В Руководстве в эту позицию внесены существенные поправки, поскольку связи между характером проявления погрешностей (случайные и систематические) и методами их оценивания не существует.
В частности, в Руководстве сказано:
3.3.3 Рекомендация IMC-1 (1980) Рабочей группы по определению неопределенностей группирует составляющие неопределенностей в две категории в соответствии с методами их оценки: "А" и "В". Эти категории относятся к неопределенности и не являются заменителями слов "случайная" и "систематическая". Неопределенность от внесения поправки на известный систематический эффект может быть получена в некоторых случаях как оценка по типу А, в то время как в других случаях – как оценка по типу В, так же как и неопределенность, характеризующая случайный эффект.
ПРИМЕЧАНИЕ – В некоторых публикациях составляющие неопределенности разделяют на категории "случайной" и "систематической" и связывают с погрешностями, возникающими соответственно из случайных и известных систематических эффектов. Такое разделение составляющих неопределенности может быть двусмысленным при общем применении. Например, "случайная" составляющая неопределенности в одном измерении может стать "систематической" составляющей неопределенности в другом измерении, в котором результат первого измерения используется в качестве входных данных. При разделении на категории методов оценки составляющих неопределенности, а не самих составляющих, такая двусмысленность устраняется. В то же время это не мешает собирать отдельные составляющие, которые были оценены этими двумя различными методами, в указанные группы, чтобы использовать для конкретной цели.
3.3.4 Целью классификации на тип А и тип В является показ двух различных способов оценки составляющих неопределенности, и она используется только для удобства обсуждения; она не предназначена для показа того факта, что существует какое-либо различие в природе этих составляющих, являющихся результатом этих двух типов вычисления. Оба типа оценивания основаны на распределениях вероятностей, и составляющие неопределенности, являющиеся результатом использования каждого типа, определяются количественно дисперсией или стандартным отклонением.
3.3.5 Оцененную дисперсию и2, характеризующую составляющую неопределенности, полученную в результате оценивания по типу А, вычисляют из рядов повторных наблюдений, и она является знакомой статистической оценкой дисперсии и2. Оцененное стандартное отклонение и – положительный квадратный корень из и2 – является, таким образом, и = s и для удобства его иногда называют стандартной неопределенностью типа А. Для составляющей неопределенности, полученной из оценивания по типу В, оцениваемую дисперсию и вычисляют, используя имеющиеся данные, и оцененное стандартное отклонение и иногда называют стандартной неопределенностью типа В.
Таким образом, стандартную неопределенность типа А получают из функции плотности вероятностей, полученной из наблюдаемого распределения по частости, в то время как стандартную неопределенность типа В получают из предполагаемой функции плотности вероятностей, основанной на степени уверенности в том, что событие произойдет (эта вероятность часто называется субъективной вероятностью). Оба эти подхода являются признанными интерпретациями вероятности.
ПРИМЕЧАНИЕ – Оценка составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на фонде сравнительно надежной информации.
В Руководстве описаны «методы вычисления стандартной неопределенности» по типу А и по типу В.
Вычисление стандартной неопределенности (uA) по типу А
Исходными данными для вычисления являются результаты многократных измерений: xi1,…,xini (i=1,…,m), где ni – число измерений i-й входной величины. Стандартную неопределенность единичного измерения i-й входной величины вычисляют по формуле:
uA,t = (10.1)
где – среднее арифметическое результатов измерений i-й входной величины.
Стандартную неопределенность измерений i-й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле:
uA(xI) = (10.2)
Вычисление стандартной неопределенности (uB) по типу В
Исходными данными для вычисления является следующая информация:
· данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;
· данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;
· неопределенности констант и справочных данных;
· данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и др.
Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значений величины от ее точечной оценки. При неполном знании о неопределенности некоторой i-й входной величины обычно постулируют равновероятное распределение возможных значений этой величины в указанных (нижней и верхней) границах [bi-, bi+]. При этом стандартную неопределенность, вычисляемую по типу В, определяют по формуле:
uB(xi) = (10.3)
а для симметричных границ (±bi) –
uB(xi) = . (10.4)
В случае других законов распределения формулы для вычисления неопределенности по типу В будут иными.
Вычисление суммарной стандартной неопределенности (uc)
Оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности при некоррелированных результатах измерений x1,…, xm получают из зависимости:
uc2(y) = (10.5)
В случае коррелированных результатов измерений x1,…, xm оценку вычисляют по формуле:
uc2(y) = (10.6)
где r(xi, xj) – коэффициент корреляции, u(x) – стандартная неопределенность входной величины, вычисленная по типу А или по типу В.
Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений (xil, xjl) (l=1,…nij, где nij – число согласованных результатов измерений):
r(xi, xj) = (10.7)
Выбор коэффициента охвата k при вычислении расширенной неопределенности
В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой:
k = tp(veff) (10.8)
где tp(veff) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степенен свободы veff и доверительной вероятностью (уровнем доверия) р. Значения коэффициента tp(veff) приведены в приложении Г Руководства.
Число степеней свободы определяют по формуле:
veff = , (10.9)
где vi - число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины:
vi = ni – 1 для вычисления неопределенностей по типу А;
vi =∞ для вычисления неопределенностей по типу В.
Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей измерений делают предположение о нормальном законе распределения возможных значений измеряемой величины и полагают:
k = 2 при р ≈ 0,95 и k = 3 при р ≈ 0,99.
При допущении распределения данных по закону равной вероятности полагают:
k = 1,65 при р ≈ 0.95 и k = 1,71 при р ≈ 0,99.
При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:
· алгоритм получения результата измерений.
· алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;
· неопределенности всех используемых данных и способы их получения:
· алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента k).
ВНИИМ им. Д.И.Менделеева в 1999 году разработал нормативный документ ГСИ. Рекомендация МИ 2552 – 99 «Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений"», цель которого ясна из названия. Позже этот документ был заменен межгосударственными рекомендациями РМГ 43 – 2001 с тем же названием. В РМГ 43 изложены основные положения Руководства и рекомендации по их применению. В нем дан сравнительный анализ подходов к описанию результатов измерений, принятыми в ГСИ и предлагаемыми в Руководстве, сопоставлены формы представления результатов измерений.
РМГ 43 предлагает применять для сопоставления оценок характеристик неопределенностей и погрешностей результатов измерений схему соответствия (рисунок 10.1). Анализ показывает неполное соответствие, что отражено на схеме. Для оценки СКО, характеризующего неисключенную систематическую погрешность, действительно приходится прибегать к «вычислению неопределенности по типу В», однако оценивание неопределенности по типу В применяют и в других случаях, в том числе и для получения СКО, характеризующего случайную погрешность. В третьей строке «соответствие» кажущееся, оно обусловлено некоторым сходством терминов.
Количественные оценки погрешностей измерений и неопределенностей практически совпадают или различаются незначительно. Проведенные в нормативном документе РМГ 43 расчеты подтверждают, что различия оценок из-за неполного соответствия некоторых алгоритмов расчета и коэффициентов не превышают 11 %, что для рядовых измерений можно считать пренебрежимо малым расхождением.
| Рисунок 10.1 – Схема соответствия оценок характеристик неопределенностей и погрешностей в описании результатов измерений |
| СКО, характеризующее случайную погрешность |
| Стандартная неопределенность, вычисленная по типу А |
| СКО, характеризующее неисключенную систематическую погрешность |
| Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В |
| Суммарная стандартная неопределенность |
| Расширенная неопределенность |
| СКО, характеризующее суммарную погрешность |
| Доверительные границы погрешности |
Из проведенного анализа ясно, что для практического оценивания неопределенности и описания этого процесса можно использовать само «Руководство», его официальный перевод или РМГ 43–2001«Применение "Руководства по представлению неопределенности измерения"»