Статистическая обработка результатов прямых равнорассеянных измерений

Под статистической обработкой результатов измерений здесь подразумевается обработка результатов многократных прямых измерений одной и той же физической величины. Их также называют «измерения с многократными наблюдениями» или «серия измерений».

Подготовка массива результатов наблюдений (многократных измерений) к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-минимум состоит в исключении из результатов измерений переменных систематических составляющих, задача-максимум – в исключении всех систематических составляющих. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей были рассмотрены ранее. Следует вспомнить, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей.

Невыявленные систематические погрешности – результат невнимательности или низкой квалификации метролога и обсуждению не подлежат. Неисключенные остатки систематических погрешностей следует оценить и сопоставить со случайной составляющей, чтобы признать пренебрежимо малыми или (при необходимости) учесть в представлении результатов измерений как это описано ниже.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же величины.

Обработку начинают с расчета среднего арифметического значения исправленных результатов наблюдений Ã (получение точечной оценки результата измерения)

_n

à = (Σ x_i.) /n

^{i =1}

где х_i – i-й результат наблюдения;

Затем возможно выполнение двух промежуточных операций для проверки правильности расчетов Ã:

Расчет отклонений V_i результатов наблюдений от среднего арифметического значения

V_i = Ã – x_i .

Расчет суммы отклонений (отклонения суммируют с учетом знаков)

_n

Σ V_i. ≈ 0

^{i =1}

Если сумма отклонений практически равна нулю, расчеты значений Ã и V_i можно считать правильными, в противном случае необходимо перепроверить расчеты.

Расчет оценки с к о результатов наблюдений

 

где – точечная оценка результата измерения;

n – число результатов наблюдений;

– оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Далее при необходимости и возможности выполняют проверку гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона c² или Мизеса-Смирнова w². При 50 > n > 15 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (обозначим его W), механизм использования которого представлен в справочном приложении 1 ГОСТ 8.207.

Проверки по критериям согласия проводят с уровнем значимости q от 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

В случае обнаружения подозрительных результатов проводят статистическую проверку наличия/отсутствия результатов с грубыми погрешностями.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ

|V_extr| > 3σ.

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с первого шага.

Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценку с к о среднего арифметического значения) определяют из зависимости

,

где х_i – i-й результат наблюдения;

– результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n – число результатов наблюдений;

– оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

При наличии ранее рассчитанного значения S можно воспользоваться той же зависимостью, представленной в виде

___

S(Ã) = S /√ n

 

Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности ε результата измерения рассчитывают из зависимости

,

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n (находят из таблицы 8.1, взятой из справочного приложения 2 ГОСТ 8.207).

В случае отсутствия значимых неисключенных систематических составляющих погрешности за значения границ погрешности результата измерения Δ принимают полученное значение ε.

 

Таблица 8.1 – Значение коэффициента t для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

 

n-1	Р=0,95	Р=0,99	n-1	Р=0,95	Р=0,99
	3,182	5,841		2,120	2,921
	2,776	4,604		2,101	2,878
	2,571	4,032		2,086	2,845
	2,447	3,707		2,074	2,819
	2,365	3,499		2,064	2,797
	2,306	3,355		2,056	2,779
	2,262	3,250		2,048	2,763
	2,228	3,169		2,043	2,750
	2,179	3,055	∞	1,960	2,576
	2,145	2,977

 

Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями. Иногда принимают Р = 0,99 если существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента или имеются иные причины.

При числе степеней свободы более 30, что приравнивается к бесконечности, чаще всего используют округленные значения коэффициента t, принимая t ≈ 2 при Р = 0,95 и t ≈ 2,6 при Р = 0,99, а при вероятности свыше 0,99 для простоты принимают t ≈ 3.

Далее при наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_i рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные методические систематические погрешности, погрешности средств измерений и погрешности от других источников.

В качестве границ частных неисключенных систематических погрешностей принимают, например, пределы допускаемых погрешностей используемых мер (гирь, концевых мер длины) и/или других средств измерений, если эти погрешности представлены в их паспортах или иных документах. При использовании аттестованных средств измерений, если в результаты измерений вносится взятая из аттестата поправка, границей частной неисключенной систематической погрешности считают предельную погрешность аттестации.

Суммирование составляющих неисключенной систематической погрешности результата осуществляют на основе допущения о том, что все неисключенные систематические погрешности можно рассматривать как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений этих величин, их распределения принимают за равновероятные. Такое распределение приписывают погрешностям, поскольку его можно считать наихудшим из возможных вариантов.

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции всех неисключенных систематических погрешностей. Эти границы (без учета знака) можно вычислить с использованием зависимости

,

где Θ_i – граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

Значение коэффициента kпри выбранной доверительной вероятности Р= 0,95 принимают равным 1,1.

Значение доверительной вероятности для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают таким же, как и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m > 4). Если число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику (рисунок 8.1) зависимостей k = f (m, l), представленному в стандарте ГОСТ 8.207.

Значение аргумента l рассчитывают по формуле

,

где Θ₁ – составляющая, наиболее отличающаяся от других числовым значением,

Θ₂ – составляющая, ближайшая к Θ₁.

 

 

Рисунок 8.1 – Графики зависимостей k =f (m, l): кривая 1 для m = 2; кривая 2 для m = 3 и кривая 3 для m = 4

Далее для оценки значимости неисключенных систематических погрешностей по сравнению со случайными берут соотношение Θ/S(Ã).

Неисключенные систематические погрешности считают пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей если их значение менее 0,8 S(Ã). В таком случае принимают, что граница погрешности результата измерения Δ = ε.

Если значение неисключенной систематической погрешности превышает 8,0 S(Ã), то пренебрегают случайной погрешностью как пренебрежимо малой по сравнению с систематической и принимают, что граница погрешности результата Δ = Θ.

В стандарте говорится, что погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения (случайной или неисключенной систематической), при выполнении указанных неравенств, не превышает 15 %.

Если отношение неисключенной систематической составляющей погрешности к случайной находится между двумя указанными пределами, т.е.

0,8 ≤ Θ/S(Ã) ≤ 8,0,

то границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. В таком случае допускается границы погрешности результата измерения Δ (без учета знака) вычислять с использованием зависимости

,

где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

S_Σ– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле

.

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения определяют из зависимости

,

__

где Θ_i/√3 – оценка среднего квадратического отклонения i-й неисключенной систематической погрешности, полученная на основе ранее представленного допущения о равновероятном распределении этих погрешностей в границах ±Θ_i, а соответственно Θ_i²/3 – дисперсия этого отклонения.

В стандарте сказано, что оформление результатов измерений должно соответствовать требованиям МИ 1317-86 «Методические указания. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров».

Простейшая форма представления результатов измерений, предложенная ГОСТ 8.207 для случая симметричной доверительной погрешности

,

где – точечная оценка результата измерения,

Δ – доверительная граница результата измерений,

Р – доверительная вероятность.

Числовое значение точечной оценки результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Δ.

При отсутствии данных о видах функций распределений случайных и неисключенных систематических составляющих погрешности, результаты измерений можно представить в форме

 

В случае если границы неисключенной систематической погрешности вычислены как композиция неисключенных частных систематических погрешностей, следует дополнительно указывать принятую в расчетах доверительную вероятность Р.

Эту форму нельзя считать окончательной, очевидна необходимость анализа погрешностей и дальнейшей обработки результатов для представления их в нормированном виде, соответствующем требованиям МИ 1317-86.