Основные теоремы о пределах.

Теорема 5.4.2. Если в некоторой окрестности точки а(или при достаточно больших значениях х) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то функция имеет тот же предел А.

Пусть при , . Это означает, что для любого >0 найдется такое число>0 , что для всех и удовлетворяющих условию <будут верны одновременно неравенства

<, <

или

<<, <<.

Пусть . Так как по условию функция заключена между двумя функциями

то из неравенств следует, что<<, т.е. <.

А это означает, что ,(рис.5.4.2)

Рис.5.4.2

Пусть и - функция, для которых существуют пределы при : , .

Сформулируем основные теоремыо пределах.

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

(5.4.3)

2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

(5.4.4)

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(5.4.5)

4. Если , , то предел сложной функции

(5.4.6)

Докажем в качестве примера свойство 5.4.4. По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций в соответствии с формулой , , где а(х) и - бесконечно малые величины при . Перемножая почленно оба неравенства, получаем

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемых представляют бесконечно малую величину при . Итак, функция представляет сумму постоянного числа А·В и бесконечно малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции это означает, что

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций и , из чего следует заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Но из существования предела суммы, произведения или частного функций еще не следует,что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Например, , но отсюда еще не следует существования пределов и . И действительно, в данном случае первого из этих пределов не существует.

Теоремы 5.4(1,2,3,4) не имеют места, если требования, указанные в этих теоремах, не выполняются.

Пусть , , при вычислении пределов сумм, произведений, частного можно прийти к выражениям вида , , , , , , . Такие выражения называются неопределенными(неопределенностями). Вычисление пределов в таких случаях сводится к раскрытию неопределенностей путем различных преобразований. Например, пусть и .