Основные элементарные функции.

Обратная функция.Пусть есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому единственноезначение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве Y с областью значений Х, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию – через у, то функция, обратная к функции , примет вид . Обратную функцию обозначают также в виде (аналогично с обозначением обратной величины). Например, для функции ya^x обратной будет функция xlog_ay, или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных) .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 4.11 показаны графики взаимно обратных функций и при ).

 

Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь? является функцией от переменной х, определенной на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция называется сложной функцией (функцией от функции). Например, - сложная функция, так как ее можно представить в виде , где .

4.3. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразования графиков.

Функция называется явной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Например, .

Функция у называется неявной, если она задана уравнением , неразрешенным относительно зависимой переменной. Например, . Иногда функцию, заданную неявно, можно привести к явному виду, иногда это сделать невозможно. Например, - функция задана неявно. Приведем к явному виду: .

Графиком уравнения называется множество точек плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

 

 

К основным элементарным функциям относятся:

1. степенные функции , , , где n – натуральное ().

2. показательные функции (, ).

3. логарифмические функции (, ).

4. тригонометрические функции , , , .

5. обратные тригонометрические функции , , , .

Понятие элементарной функции.Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами:

а) с помощью алгебраических действий;

б) с помощью операций образования сложной функции.

Определение.Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

 

 

Например, функция

является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (, , , , ) конечно.

 

 

Краткий обзор свойств основных элементарных функции представлен в таблице.

Таблица
Обозна-чение функции	Область опреде-ления Х	Область значе-ний Y	Четность, нечет-ность	Монотон-ность	Перио-дичность	Графики функций
1. Степенная функция
	(-∞;+∞)	(-∞;+∞), если n – нечетно [0;+∞), если n - четно	Нечетная, если n – нечетно; четная, если n – четно	Возрастает на (-∞;+∞), если n – нечетно; убывает на (-∞;0], если n – четно	Неперио-дическая
Продолжение таблицы
	(-∞;0)U U(0;+∞)	(-∞;0)U U(0;+∞)если n – нечетно [0;+∞), если n – четно	Нечетная, если n – нечетно; четная, если n – четно	Убывает на (-∞;0) и на (0;+∞), если n – нечетно; возрастает на (-∞;0) и убывает на (0;+∞), если n – четно	Неперио-дическая
	(-∞;+∞) если n – нечетно [0;+∞) если n – четно	(-∞;+∞), если n – нечетно [0;+∞), если n - четно	Нечетная, если n – нечетно; общего вида, если n – четно	Возрастает на (-∞;+∞), если n – нечетно; возрастает на [0;+∞), если n – четно	Неперио-дическая
2. Показательная функция
	(-∞;+∞)	(0;+∞)	общего вида	Возрастает на (-∞;+∞), если ; убывает на (-∞;+∞), если	Неперио-дическая
3. Логарифмическая функция
	(0;+∞)	(-∞;+∞)	общего вида	Возрастает на (0;+∞), если ; убывает на (0;+∞), если	Неперио-дическая
Продолжение таблицы
4. Тригонометрические функции
	(-∞;+∞)	[-1;1]	нечетная	Возрастает на [-π/2+2πn; π/2+2πn]; убывает на [π/2+2πn; 3π/2+2πn],	Период
	(-∞;+∞)	[-1;1]	четная	Возрастает на [-π+2πn; 2πn]; убывает на [2πn; π+2πn],	Период
	(-π/2+ +πn; π/2+πn);	(-∞;+∞)	нечетная	Возрастает на (-π/2+πn; π/2+πn);	Период
	(πn; π+πn);	(-∞;+∞)	нечетная	Убывает на (πn;π+πn);	Период
5. Обратные тригонометрические функции
	[-1;1]	[-π/2; π/2]	нечетная	Возрастает на [-1;1]	Неперио-дическая
	[-1;1]	[0;π]	общего вида	Убывает на [-1;1]	Неперио-дическая
Продолжение таблицы
	(-∞;+∞)	(-π/2; π/2)	нечетная	Возрастает на (-∞;+∞)	Неперио-дическая
	(-∞;+∞)	(0;π)	общего вида	Убывает на (-∞;+∞)	Неперио-дическая

 

 

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраическойназывается функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция(многочленили полином):

;

• дробно-рациональная функция– отношение двух многочленов;

•иррациональная функция(если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая не алгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические функции.