Все доказанные свойства справедливы для определителей любого порядка
0 0 0
Свойства определителей.
1. В результате транспонирования величина определителя не меняется.
а11 а12 а13 а22 а32 а21 а31 а21 а31
∆ = а21 а22 а23 = а11 - а12 + а13 = ∆
а31 а32 а33 а23 а33 а23 а33 а22 а32
2. ∆ = а21 а22 а23 = 0
а31 а32 а33
3. Общий множитель элементов какого-нибудь ряда можно вынести за знак определителя.
а11 а12 а13
kа21 kа22 kа23 = ka21A21+ ka22A22 + ka23A23 = k∆
а31 а32 а33
4. Если в определителе две строки (два столбца) поменять местами, определитель меняет знак на противоположный.
5. Если в определителе два столбца одинаковые, определитель равен нулю.
а11 а11 а13
∆ = а21 а21 а23 = -∆ (Если поменять 1 и 2 столбцы местами, св.4);
а31 а31 а33
6. Если в определителе элементы двух рядов пропорциональны, определитель равен нулю. Вытекает из свойств 3 и 5.
7. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения другого ряда равна нулю.
Доказательство:
Рассмотрим определитель
а31 а32 а33
∆ = а21 а22 а23 = 0 (по свойству 5)
а31 а32 а33
Разложим этот определитель по элементам 1-й строки (теорема Лапласа). ∆ = a31А11 + а32А12+ а33А13 = 0. Здесь мы видим сумму произведений элементов третьей строки определителя ∆ и алгебраических дополнений 1-й строки, и эта сумма равна нулю.
8. Сумма произведений чисел b1, b2 , b3 на алгебраические дополнения любого столбца равна определителю, который получается из данного определителя заменой элементов этого столбца столбцом из чисел b1, b2, b3.
b1 а12 а13
b1A11+ b2A21 + b3A31 = b2 а22 а23
b3 а32 а33
9. Если элементы какого-нибудь ряда, умноженные на одно и тоже число, прибавить к соответствующим элементам другого ряда, величина определителя не изменится.
а11 а12 а13+k а11
а21 а22 а23+k а21 = (a13+ka11)A13+(a23+ka21)A23+(a33+ka31)A33=
а31 а32 а33+k а31
= a13A13+a23A23+a33A33+k(a11 A13+a21 A23+a31 A33)= ∆ + k0 = ∆
(из свойства 7)
10. Для квадратных матриц |AB|=|A|*|B|
Примеры. Вычислить определители.
1. 1 7 0
2 -1 -3 = 2 - 21*5 + 0 – 0 - (-3)*41 - 14*2 = 2 -105+12-28 =14-133=-119
5 4 2
2. + + +
4 6 -2 1 (-4) (- 6) (2) 0 0 0 1
1 -1 3 5 = -19 -31 13 5 19 31 13
3 -10 2 1 -1 -16 4 1 = -1 1 16 4 =
6 0 12 2 -2 -12 16 2 2 12 16
19 31 13 19 31 13 19 31 13
= -2 1 16 4 = -2 1 16 4 = -2 1 26 0 =
1 6 8 0 -10 4 0 -10 4
= -2 * (12*26*4 + 130 – 31*4) = -4 * (12*26*2 + 65 – 31*2) = -4 * (12*26*2 + 3)
Замечание. Так как всякий определитель связан с квадратной матрицей, то все доказанные свойства можно «привязать» к матрице.
Например. Если элементы двух строк квадратной матрицы равны, то определитель этой матрицы ∆ = |A|=0.
Лекция 2. Обратная матрица.
Число b называют обратным по отношению к числу a, если ab=1 В этом случае b== a-1 aa-1 ≡ 1
| Определение. Матрица В называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А слева или справа получается единичная матрица: AB=BA=E |
В этом случае для обратной матрицы В вводится обозначение В=А-1.
Из свойств определителей и условия A-1A=AA-1=Eследует
|А-1А|=| А-1||А|
| А-1|*|А|= 1, |А-1|=, |А|≠ 0
|А-1А|=| Е|= 1
Очевидно, говорить о существовании обратной матрицы для матрицы А можно лишь том случае, если │А│≠ 0. В этом случае матрица Аназывается невырожденной. Если |A|=0, то матрица А называется вырожденной(особенной).
Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы.
│А│≠ 0- необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
| Теорема. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А-1 и при этом единственная, для которой справедливо равенство: А*А-1 = А-1 *А = Е |