Контроль по альтернативному признаку

Пример

При а = 0,05, р =0,1, AQL = 0,003, LQ = 0,02 - для этого? плана в среднем из каждых 100 партий, имеющих засоренность не выше 0,3% будет забраковано не более пяти, а из 100 партий, содержащих более 2% дефектных изделий будет принято не бо­лее 10 партий.

 

Предположим, что контролируется партия из N изделий. Для контроля делается случайная выборка объемом п. Количество способов, которыми можно выбрать п изделий из N без учета порядка следования — это число сочетаний.

 

Пусть случайная величина Х- количество дефектных (несо­ответствующих) изделий в выборке. Известно, что во всей партии изделий доля несоответствий составляет q. Тогда число дефект­ных изделий в партии равно Nq, число годных изделий составит N= Nq. Рассмотрим событие Х= m – взято ровно m дефектных изделий. Это возможно, если из Nq дефектных изделий взято m изделий, а из оставшихся годных N — Nq взято n-m изделий (всего в выборке n изделий). Тогда вероятность рассматриваемого события

 

Формула описывает гипергеометрическое распределение.

Как правило, объем выборки составляет не более 10% от объема всей партии, в этом случае гипергеометрическое распределение может быть аппроксимировано биномиальным

 

На практике доля несоответствий обычно составляет менее 10%, в этом случае в свою очередь биномиальное распределение может быть аппроксимировано распределением Пуассона:

 

 

Рассмотрим одноступенчатый контроль по альтернативному признаку. Вероятность приемки партии P(q) в этом слу­чае - это вероятность того, что количество дефектных изделий т в выборке не превысит приемочное число с. Используя фор­мулу сложения вероятностей несовместных событий, получим уравнение оперативной характеристики одноступенчатого пла­на контроля:

 

В частности, при использовании биномиального распреде­ления уравнение оперативной характеристики одноступен­чатого плана примет вид:

 

 

Используя это уравнение, из рисунке получим следующие соотношения:

 

 

Решая численно систему нелинейных уравнений при известных значениях AQL и LQ, а также заданных рисках α и β, находят параметры плана — объем выборки п и приемочное число с.

Анализ зависимостей показывает, что при постоянном объеме выборки п с возрастанием приемочного числа вероятность принятия партии с заданным приемлемым уровнем качества AQL возрастает , а с возрастанием при постоянном с вероятность приемки партии уменьшается. Можно подобрать такой план контроля (n,c), который бы обеспечивал значения рисков α и β при заданных значениях уровней качества AQL и LQ.

 

 

 

По результатам контроля множества партий продукции могут быть найдены некоторые полезные характеристики, в частности, средняя доля несоответствующих единиц продукции в принятых партиях (средний уровень выходного качества) и среднее число проконтролированных изделий партии.

Рассмотрим одноступенчатый план, при котором забракованные партии изделий подвергаются сплошному контролю, т.е. контролируются все оставшиеся (N-n) изделия партии, а выявленные партии изделий заменяют годными. Предположим, что доля дефектных изделий постоянна и равна q. Тогда с вероятностью P(q) партии изделий принимаются, а с вероятностью [l – P(q)] партии подвергаются сплошному контролю; доля дефектных изделий в этих партиях равна нулю. Тогда средняя доля дефектных изделий в принятых партиях по формуле математического ожидания для дискетной случайной величины равна:

q_cp = q P(q) + 0 [1 - P(q)) = q Р(q).

 

 

Величина q_cp и называется средним уровнем выходного качества. Из формулы видно, что при q = 0 значение q_cp = 0 и при q =1 также q_cp = 0, поскольку вероятность Р(1) = 0. Так как q_cp — неотрицательная функция от q, равная нулю при q = 0 и q = 1, внутри интервала 0 ≤ q≤1 средний выходной уровень дефектности имеет максимум q_mах . Максимальный для заданного плана контроля средний уровень q_max называют пределом среднего уровня выходного качества.

При использовании рассмотренного выше плана, когда бракованные партии изделий подвергаются сплошному контролю, число проконтролированных в партии объема N изделий есть случайная величина, принимающая значение n с вероятностью P(q) и значение N (сплошной контроль) с вероятностью [ 1 — Р(q). Поэтому среднее число проконтролированных изделий партии равно:

п_ср = п Р(q) + N[1 - P(q)].

Если же принято решение о возврате забракованной парт поставщику, то объем контроля в этом случае постоянен и ра­вен объему выборки п.

Для уменьшения объема контроля используют многоступенчатые и в частности двухступенчатые планы. При использова­нии двухступенчатого плана решение о качестве партии прини­мается либо после анализа первой выборки объемом n₁, c приемочным числом с₁,, и браковочным d₁ либо второй объе­мом п₂ с приемочным числом с₂.

Найдем уравнение оперативной характеристики двухступен­чатого плана. Учитывая, что приемка производится или на пер­вой ступени контроля, или на второй, получим:

 

P(q) = P_l(q)+P₂(.q),

что представляет собой сумму вероятностей несовместных событий. Вероятность приемки партии на первой ступени по ана­логии с определяется по формуле

где Р(Х₁ = m₁) - вероятность того, что в первой выборке окажется ровно m₁ дефектных изделий).

Вероятность приемки партии на второй ступени — это веро­ятность одновременного осуществления двух независимых со­бытий: количество дефектных изделий т₁ в первой выборке удов­летворяет условию с₁ < m₁ < d₁, при этом количество дефектных изделий в двух выборках не превышает приемочное число на второй ступени контроля (m₁+ т₂) ≤ с_2;

Тогда уравнение оперативной характеристики двухступенчатого примет вид:

 

Вероятности, входящие в это уравнение, определяются в за­висимости от используемого распределения - гипергеометрического, биномиального или Пуассона - соответственно по фор­мулам.

Для оценки среднего числа проконтролированных изделий рассмотрим, как и при одноступенчатом контроле, два возмож­ных варианта. В случае если отклоненные партии бракуются (возвращаются поставщику), среднее число проверенных изделий в партии определяется по формуле

 

Здесь, как и ранее, использована формула математического ожидания дискретной случайной величины: для отклонения партии первая выборка берется в любом случае (вероятность этого события - единица), а вторая - при условии, что с₁ < m₁ < d_1.

В другом варианте, если отклоненные партии изделий под­вергаются сплошному контролю, то партия объемом N может быть принята либо по результатам первой выборки, и тогда в ней бу­дет проконтролировано и, изделий, либо на основании двух вы­борок и в ней будет проконтролировано (n₁ + n₂) изделий. Если же партия отклоняется, то проверяются все N изделий.

Математическое ожидание числа проконтролированных в партии изделий с учетом соответствующих вероятностей будет равно

 

Пример

Построить оперативные характеристики для одноступенчатого плана с параметрами п = 50 и с = 3 и для двухступенча­того плана с параметрами n₁ = n₂ = 25; с₁ = 1; d₁ = 3; с₂ = 2. Сравнить средний объем проконтролированных изделий в партии, предполагая, что забракованные партии возвращаются постав­щику. Сравнить риски поставщика при использовании эти* планов, принимая приемлемый уровень качества AQL = 0,01.

Воспользуемся биномиальным распределением. Для одноступенчатого плана в соответствии с формулой (5.5) имеем:

соответствующий график показан на рисунке (кривая 1). Для двухступенчатого плана по аналогии

 

график показан на рисунке (кривая 2).

Средний объем при одноступенчатом контроле в рассматриваемых условиях: n_ср = n = 50. При двухступенчатом контроле получим:

 

Видим, что в отличие от одноступенчатого контроля средний объем проконтролированных изделий зависит здесь от доли несоответствующих изделий в партии. В частности при q = 0,01 n_ср ⁼ 26 при q = 0,1 n_ср = 31, что значительно ниже, чем при одноступенчатом контроле.

Учитывая, что P(AQL) = 1 – α и подставляя в уравнения оперативных характеристик q = AQL = 0,01, найдем риск по­ставщика при одноступенчатом контроле α = 0,013 , при двух­ступенчатом — α= 0,007; таким образом двухступенчатый контроль уменьшает риск поставщика.