ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

§3.1. Элементы теории вероятностей

 

Статистические методы в управлении качеством, как и матема­тическая статистика, базируются на основных положе­ниях теории вероятностей. Теория вероятностей - наука о зако­номерностях массовых случайных событий, т.е. событий, кото­рые при соблюдении определенного комплекса условий могут произойти, а могут и не произойти. Случайными событиями являются, например, взятие дефектной детали из партии изго­товленной продукции или выход из строя телевизора во время гарантийного периода. Степень возможности осуществления таких событий может быть большей или меньшей, она характе­ризуется вероятностью события.

Случайное событие можно рассматривать как результат не­которого эксперимента со случайными исходами, поставленно­го специально (взятие детали из партии) или в результате на­блюдения за естественно происходящими событиями (выход из строя телевизора).

Предположим, что эксперимент можно повторять в одних и тех же условиях неоднократно. Рассмотрим некоторое событие А = {Взятая из партии деталь оказалась дефектной}. Если в серии из N опытов событие А произошло М раз, то отношение W(A) = М / N можно назвать относительной частотой события А.

Р{А) « ЩА) = М/N. (3.1)

Такое определение вероятности называется статистическим. При небольших значениях N частота одного и того же собы­тия может колебаться в достаточно широких пределах. Однако при большом числе опытов эта величина стабилизируется, и ее колебания приближаются к некоторому пределу, который при­ближенно и характеризует вероятность осуществления рассмат­риваемого события:

 

Нетрудно видеть, что в общем случае 0 < М < N. При М - О имеем невозможное событие: событие, которое при определен­ных условиях никогда не произойдет. Вероятность такого собы­тия равна нулю.

В реальных ситуациях часто имеют место события, вероят­ность которых близка к нулю, такие события называют практи­чески невозможными. Например, если вероятность разрушения детали составляет 0,0001, т.е. в среднем разрушается одна деталь из десяти тысяч, то разрушение детали — событие маловероят­ное, или практически невозможное.

При М = N имеем достоверное событие, которое обязательно произойдет при заданных условиях. Вероятность такого события равна единице. Если же вероятность некоторого события близка к единице, такое событие называют практически достоверным.

Для любого события А вероятность Р{А) лежит в пределах от нуля до единицы:

0≤P(A)≤1. (3.2)

Событие А, состоящее в том, что событие А не произойдет, называется противоположным событию А.

Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что произойдет или событие А, или событие В, или оба события вместе.

Произведение событий А и В — это событие АВ, состоящее в том, что произойдут совместно и событие А, и событие В.

Пусть, например, А = {Изделие имеет царапину}, В= {Изде­лие имеет вмятину}, тогда противоположное событие А = {Из­делие не имеет царапины}, произведение этих событий АВ = = {Изделие имеет царапину и вмятину}, а их сумма А + В = {Изделие имеет или царапину, или вмятину}.

События А и В называются несовместными, если их одновре­менное осуществление невозможно; произведение таких собы­тий — пустое множество: АВ=Ø.

 

 

Вероятность осуществления события А зависит от соблюдения определенного комплекса условий. Пред­положим, что произошло некоторое событие В. Это обстоятель­ство может изменить вероятность события А. Вероятность со­бытия А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

События А и В называются независимыми, если вероятность осуществления одного из них не зависит от того, произошло ли другое событие. Для независимых событий А и В

 

Р(А) = Р(А/В) = Р(А / В). (3.3)

 

Можно показать, что вероятность произведения независи­мых событий равна произведению их вероятностей:

 

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (3.4)

В общем случае, когда события могут оказаться зависимы­ми, формула произведения вероятностей имеет вид:

 

Р{АВ) = Р{А) Р(В/А). (3.5)

 

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р{А + В) = Р{А) + Р{В). (3.6)

 

Для совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:

 

Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р{АВ). (3.7)

 

Из формулы (3.6), учитывая, что события А и А являются несовместными, а их сумма (А + А) — событие достоверное, следует формула для вероятности противоположного события:

 

Р(А) = 1- Р{А). (3.8)