ПЛОСКИЙ РЕАКТОР
Рассмотрим бесконечно плоский ЯР, состоящий из а.з. толщиной Н и боковых отражателей толщиной Т каждый. Начало координат поместим в плоскость симметрии. Т.к. пластина тонкая, то по физическому смыслу задача является одномерной, т.е. имеет место зависимость потоков только от х. В этом случае уравнения (1) и (2) принимают вид:
для а.з. (3)
для отражателя (4)
Граничные условия имеют вид
(5)
(6)
(7)
При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны.
Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно записать общие решения:
Ф1(x) = A1cos (χ1x) + C1 sin (χ1x) (8)
Ф2(x) = A2exp (χ2x) + C2exp (–χ2x) (9)
Так как потоки в а.з. должны быть симметричны относительно оси реактора, то решение (8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С1=0, тогда окончательно для а.з. распределение потока нейтронов имеет вид:
Ф1(x) = A1cos (χ1x) (10)
Рассмотрим решение уравнения (9). В нем выразим экспоненты через гиперболические функции ex = ch (x) + sh (x), e–x = ch (x) – sh (x):
Ф2(x) = A2 [ch (χ2x)+sh (χ2x)] + C2[ch (χ2x)–sh (χ2x)] = M ch (χ2x)+N sh (χ2x) (11)
где M= A2+C2, N= A2 –C2.
Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:
Подставим полученное соотношение в (11):
(12)
Известно, что sh(a–b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:
, (13)
где .
Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):
Ф1(x) = A1cos (χ1x) (10)
, (13)
Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H/2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:
(14)
Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):
(15)
Разделим почленно (15) на (14) и получим
(16)
Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ1, χ2, D1, D2. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав а.з. и отражателя (χ1, χ2, D1, D2), можно определить критические размеры системы; и наоборот.
В реакторе без отражателя (Т=0) правая часть условия (16) начнет стремиться к бесконечности. Тогда условие критичности примет вид:
Вспомним полученное ранее выражение для такого случая . Они совпадают.
Рассмотрим, какова роль отражателей и каким образом в простейшем алгоритме расчета учитывается их присутствие. В реакторе с отражателями плотность потока нейтронов Ф(х) тоже снижается у границ активной зоны, но не до нуля, как на экстраполированной границе реактора без отражателя. Функция Ф(х), умозрительно экстраполированная за пределы реальной активной зоны, обращается в нуль на границах воображаемого реактора в форме пластины с размерами
Величина δ, заменяющая действие отражателя, рассчитываются -теоретически и называются экстраполяционной добавкой к размерам активной зоны (соответственно сбоку, снизу и сверху). Размер Нэ называется экстраполированным размером эквивалентного реактора без отражателей.
К понятию эквивалентного реактора и экстраполяционной добавки можно подойти и другим образом. Если у критического реактора удалить отражатель, то для того, чтобы он остался в критическом состоянии, необходимо увеличить размер (толщину) активной зоны на некоторую величину δ, компенсирующую отсутствие отражателя.
Рассмотрим два бесконечно плоских ЯР.
Пусть первый ЯР в форме бесконечной пластины с отражателем имеет критический размер Н, а эквивалентный ему (по значению Кэф или по размножающим свойствам) в форме бесконечной пластины без отражателя имеет критический размер Н0 (с учетом длины экстраполяции). Известно, что Н0>Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:
(17)
В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометрическому, тогда . В (17) выразим ширину ЯР с отражателем и подставим туда найденное выражение для Н0: . Теперь это полученное выражение подставим в условие критичности (16)
В аргументе тангенса открываем скобки и получаем
В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:
, (18)
отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:
(19)
Если ЯР большой H>>d, в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:
, учитывая, что χ2=1/М2, получаем:
(20)
Проанализируем полученную зависимость d от параметров активной зоны и отражателя, рассмотрев предельные случаи. Эффективная добавка пропорциональна гиперболическому тангенсу от толщины отражателя, измеренной в длинах миграции: при малых Т/М2 величина d растет линейно, а при Т/М2>2~3рост d практически прекращается (см. рисунок).
1. Тонкий отражатель М2>>T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения . Отсюда , т.е. δ~T (в частном случае при D1=D2). В этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.
2. Толстый отражатель М2<<T, т.е. , следовательно, . Тогда , т.е. δ~M2. В этом случае величина δ определяется ядерно-физическими свойствами отражателя.
Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, а критические размеры а.з. уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ практически прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается и уменьшение критических размеров а.з.). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отражателя, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.
Коэффициенты диффузии D1 и D2 достаточно близки друг к другу для большинства материалов, поэтому значение δ определяется в первую очередь значениями квадрата длины диффузии (L2) и возрастом (τ) материала отражателя.
Можно оценить и разумную толщину отражателя: (2-3) М2. Однако на практике решающими часто оказываются экономические соображения и размер отражателя выбирается меньшим. Так, в реакторах с графитовым и тяжеловодным отражателем толщина отражателя составляет, как правило, 60—80 см.
Используя понятие δ, реальный критический реактор с отражателем можно заменить эквивалентным критическим реактором без отражателя. Это позволяет записать критическое уравнение для плоского реактора с отражателем в виде:
Такая запись значительно облегчает решение различных задач.