Теорема 9.

Теорема 8.

Теорема 7.

Теорема 6.

Выпуклые линейные оболочки.

Пусть М множество точек из пространства Выпуклой линейной оболочкой множества М называется множество всех выпуклых линейных комбинаций состоящих из этих точек.

Пример: Доказать, что ∆АВС является оболочкой трёх точек А, В, С.

 

 

B

E

DDD

Д

A C

 

Доказательство: возьмём произвольную точку Если мы сможем выразить эту точку, как выпуклую линейную комбинацию АВС, то утверждение будет доказано.

Проведём через точки А и Д прямую. Обозначим через Е точку пересечения этой прямой с отрезком ВС.

 

 

, где

т. Е

, где

 

 

Надо доказать, что сумма коэффициентов при точках А, В, С = 1, из этого что построенное выражение является выпуклой линейной комбинацией трёх точек А, В, С.

что и требовалось доказать.

Выпуклая оболочка множества М некоторого множества М является наименьшим выпуклым множеством, содержащим множество М.

Доказательство: Так как по определению выпуклой оболочки С (М) является выпуклым множеством, то С (М) включено в (С) Х, где Х множество выпуклых множеств, содержащих точки М.

Пусть наименьшее выпуклое множество, содержащее т. М, тогда по теореме 5 оно содержит все выпуклые линейные комбинации т. М. Следовательно С (М) по определению включено или совпадает с совпадает.

 

Определение.Множество называется компактным, если оно ограничено или замкнуто.

 

Любое компактное выпуклое множество является выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Определение. Множество Х будет называться выпуклым многогранником если оно является выпуклой оболочкой конечного числа точек, т.е. Х – выпуклый многогранник если содержит конечное число точек , таких что любую точку этого множества можно представить как выпуклую линейную компинацию точек

 

 

 

Выпуклый многогранник в компакте.

Определение 1. Для системы уравнений вида множество Х будем считать

 

X – множество решений.

т. будет называться внутренней точкой этого множества если

Определение 2. Носителями граничной точки будем называть множество ограничений из которым эта точка будет удовлетворять в виде равенства .

Пусть множество номеров тех векторов , которые являются носителями т.

 

Тогда номера всех оставшихся векторов не вошедших в .

Для всех остальных

 

Рассмотрим систему неравенств x – многогранник решений этой системы. Точка будет являться крайней, тогда и только тогда, когда , где – размерность пространства

матрицы – это количество линейно независимых строк или столбцов.

Доказательство: Часть 1. Прямое утверждение

Дано: - крайняя точка.

Доказать:

Предположим противное: (уравнение имеет 0 решений тогда и только тогда, когда матрицы А = размерности пространства). Поэтому существует решение такое, что