Теорема 5.

Теорема 3

Пусть Х это замкнутое выпуклое множество. Точка не принадлежит множеству Х. Тогда существует гиперплоскость с нормальным так, что для любой точки будут выполняться неравенства.

 

Определение 1. Выпуклое замкнутое множество точек пространство имеющие конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником. Если оно ограничено и выпуклой многогранной областью если оно не ограничено (нет точек бесконечности).

Определение 2. Точка называется внутренней если существует окружность, в которой содержатся только из рассматриваемого множества.

Определение 3. Точка называется граничной точкой множества если в любой её окрестности содержатся точки, которые как принадлежат этому множеству, так и не принадлежат ему.

Определение 4. Точка множества называется угловой (крайней) если она не является внутренней ни для одного отрезка целиком принадлежащему этому множеству.

Рассмотрим систему линейных неравенств.

(1)

 

 

 

 

(2)

 

А · Х ≤ В (3)

 

1, 2, 3 – это тождественные формы записи системы неравенств.

 

Теорема:

Пусть Х множество допустимых векторов система тогда это множество выпукло и замкнуто.

Доказательство.

I. Докажем, что полупространство удовлетворяющее неравенству

, i является выпуклым.

т. (*)

 

(**)

 

 

 

– выражение для любой точки отрезка ⇒ множество т. Удовлетворяющих неравенству - выпуклое.

 

II. Так как вектора удовлетворяющие одновременно всем неравенствам системы образуют множество, которое является пересечением множеств для каждого неравенства, то по теореме (1) это множество выпукло.

III. Замкнутость данного множества вытекает из непрерывности рассматриваемых линейных функций.

Пусть . Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма следующего вида

Используя это определение можно переформулировать определение выпуклого множества следующим образом:

Множество называется выпуклым, если оно содержит выпуклую линейную комбинацию для любых двух своих точек.

Пусть Х – выпуклое множество, а точки - произвольные точки принадлежащие этому множеству, тогда Х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.

Рассмотрим случай К=2.

В этом случае выпуклость множества следует из определения выпуклого множества.

Предположим, что теорема доказана для случая с К-1 точек.

Рассмотрим случай когда у нас К-точек.

Построим для них выпуклую линейную комбинацию:

 

К:

 

Для начала рассмотрим частный случай, когда Тогда

= x (будут совпадать) ⇒ x и в этом частном случае теорема доказана.

 

Теперь будем считать, что

Тогда (*)

Представим нашу выпуклую линейную Х следующим образом:

 

 

Докажем, что Х' является выпуклой линейной комбинацией (К=1) точек. Для этого рассмотрим сумму:

 

по (*)

Значит х' выпуклая линейная комбинация из К-1 точек, по предположению индукции х' Х' . По определению выпуклого множества точка теорема доказана.