Гармонические колебания

Смещением называется любое отклонение физической величины от ее значения в положении равновесия.

Максимальное смещение А от положения равновесия называется амплитудой ко­лебаний. Другими словами, амплитуда определяет размах колебаний. В нашем примере размах амплитуды колебаний 2А равен смещению шарика из точки Б в точку В.

Таким образом, в крайних положениях состояние шарика характеризуется следующими параметрами: потенциальная энергия максимальна Еп = Еп max, скорость v = 0, кинетическая энергия Ек = 0.

При прохождении положения равновесия Еп = 0, v = vmax, Ек = Ек max.

В промежу­точных положениях скорость и энергия также имеют промежуточные значения.

Если бы при движении шарика не возникало потерь энергии вследствие сопротивления среды и внутреннего трения, то колебательное движение продолжалось бы бесконечно долго. В реальных же условиях без дополнительного воздействия внешней силы амплитуда колеба­ний будет постепенно уменьшаться и, в конце концов, шарик остановится.

На этом примере можно отметить еще одно важное общее свойство в механических и акустичес­ких колебаниях – переход кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Колебательные процессы подразделяются на периодические и непериодические.

Периодическими называются колебания, повторяющиеся через определенный промежуток времени, непериодическими – когда нет полного повторения процесса изменения.

 

 

Рисунок 3 – Графики периодических функций
Рисунок 4 – Графики непериодических функций

 

 

Среди периодических колебаний очень важную роль играют гармонические колебания.

Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с тече­нием времени по закону синуса или косинуса.

 

u = Usin(ωt + φ0), (1)

u = Ucos(ωt + φ0).

где u – смещение колеблющейся частицы от положения своего равновесия в момент времени t;

U – максимальная амплитуда смещения гармонического колебания. Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

(ωt + φ0) – фаза гармонического колебания; представляет собой аргумент синуса или косинуса.Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

φ0 – начальная фаза; характеризует положение точки в начальный момент времени;

ω – циклическая (круговая) частота; равна величине угла поворота, иначе ее называют угловой скоростью. Связь циклической частоты ω с линейной f и периодом Т: если угол поворота φ материальной точки равен 2π, т.е. периоду Т колебаний (исходя из равенства φ = ωt для любого момента времени t) получаем 2π = ωt

ω =, [рад/с] (2)

 

где f = 1/Т – линейная частота колебаний (число полных колебаний, происходящих за одну секунду), [1/с], [с-1], [Гц].

 

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0 смещение u = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0 = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение u = U, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0 = 0.

Рисунок 5
Гармонические колебания фи­зического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой флакон с чернилами, которые мо­гут вытекать через очень маленькое отверстие снизу. Под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту (рисунок 5, а). Полученная на бумаге кри­вая (рисунок 5, б) называется осциллограммой (лат. oscillum — колебание, греч. graphic — пишу) и представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависи­мости от выбора начального момента времени наблюдения (момента отсчета времени).

 

 

Рисунок 5 – а) пример регистрации гармонических колебаний физического маятника; б) осциллограмма гармонических колебаний


 

Рисунок 6 – Движение точки по окружности с постоянной скоростью

Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических коле­баний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физичес­ких величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки Мt) по окружности с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 6). Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Проследим движение точки Мt', являющейся проекцией точки Мt на ось Y. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении М0 и ее радиус-вектор составлял с осью Ох угол φ0.

Через промежуток времени t точка переместилась в положение Мt, а ее радиус-вектор повернулся на угол Δφ = ωt и составляет в данный момент с осью Ох угол

φt = φ0 +Δφ = φ0 + ωt.

 

Тогда смещение uу1 точки Мt вдоль оси Y есть

 

uу1 = Uу sin(φ0 + ωt), (3)

 

где uу1 = ОМt – амплитуда колебаний точки Мt'относительно оси X, равная наибольшему откло­нению точки Мt в данное время от этой оси.

Значение угла φ для любого момента времени t есть

 

φ = ωt = 2πt/T,(4)

 

Отсчет угла φ ведется от оси Х против часовой стрелки. Если бы круговое движение началось из положения φ = φ0 = 0, то формула для смещения записывалась бы в виде:

uу = Uу sin ωt = Uу sin(2πt/T), (5)

 

Также будет выглядеть формула (5), если φ = 2π, что соответствует полному обороту точки Мt в случае, если движение точки по окружности начнется из положения φ = φ0 = 0.

Если рассматривать изменение проекции их точки Мt на горизонтальную ось X (рисунок 6), то оно описывается выражением

 

uх = Ux sin(ωt + φ0 + π/2)= Ux cos(ωt + φ0). (6)

 

Таким образом, точка Мt совершает гармонические колебания как относительно оси Y, так и относительно оси X.

Выводы: