Четные, нечетные, периодические функции

Различные формы задания функции

Форма задания функции может быть: явной; неявной; табличной; параметрической, графической.

Форма задания функции – явная, если значения вычисляются с помощью некоторой или некоторых формул через значения . Примеры явной формы задания функции:

– линейная функция; область определения ; область значений ;

– квадратная парабола; область определения ; область значений ;

– тригонометрическая функция – синус; область определения ; область значений ;

– абсолютное значение ; область определения ; область значений ;

– функция знака (читается: сигнум ); область определения ; область значений .

Форма задания функции – неявная, если переменные и связаны некоторой функциональной зависимостью (то есть входят в некоторое уравнение). Примеры неявной формы задания функции:

– окружность с центром в начале координат радиуса ;

– эллипс.

Форма задания функции – табличная, если зависимость от задана таблицей. Примеры табличной формы задания функции:

 

	–2	-1
		–4			–4

 

–2
–0,5	2,2
1,1
1,2	–3,4
1,3	–7
	9,8

 

Форма задания функции – параметрическая, если переменные и заданы как явные функции от некоторого параметра, например, . Примеры параметрической формы задания функции:

– окружность с центром в начале координат радиуса ;

– эллипс.

Форма задания функции – графическая, если зависимость переменных и задана некоторым графиком на плоскости. Примеры графической формы задания функции:

 

 

Рис. 7 Рис. 8

 

На рис. 7 заданный график определяет функцию , а на рис. 8 – функцию .

 

 

Пусть задана функция с областью определения .

Множество называется симметричной относительно начала координат, если из того, что некоторая точка принадлежит множеству следует, что противоположная точка также принадлежит множеству :

.

Функция называется четной, если:

1) область определения функции симметрична относительно начала координат;

2) при изменении знака аргумента значение функции не меняется:

.

Простейшим примером четной функции является любой многочлен, состоящий только из четных степеней независимой переменной:

,

где – произвольные вещественные числа, а – произвольное целое неотрицательное число.

Функция называется нечетной, если:

1) область определения функции симметрична относительно начала координат;

2) при изменении знака аргумента меняется только знак функции, а абсолютное значение функции остается тем же:

.

Простейшим примером нечетной функции является любой многочлен, состоящий только из нечетных степеней независимой переменной:

,

где – произвольные вещественные числа, а – произвольное натуральное число.

Функция называется периодической, если:

1) найдется такое число , что для любого из области определения функции точки и также принадлежат области определения функции:

;

2) для любого из области определения функции выполняется равенсто :

.

Каждое такое число называется периодом периодической функции . Если наименьшее из периодов периодической функции является положительным числом, то оно называется основным периодом периодической функции.

Все основные тригонометрические функции являются периодическими. Основной период функций и равен , а функций и равен . Приведем пример периодической функции, не являющейся периодической.

Пусть – произвольное вещественное число. Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее числа . Целая часть числа обозначается :

и .

Дробной частью числа называется разность между самым числом и его целой частью. Дробная часть числа обозначается :

.

Дробная часть числа является примером периодической функции, не являющейся тригонометрической. Основной период периодической функции равен 1.

Постоянная функция является примером периодической функции, не имеющей основной период: Например, для функции любое положительное вещественное число является периодом. Однако неотрицательное число, меньшее любого положительного вещественного числа равно нулю, что не может являться периодом периодической функции.