Корневые методы. Оценка качества процесса регулирования по распределению корней характеристического уравнения.

Рис.5.83. Определение показателя колебательности М

Рис.5.82.Показатели регулирования

Раздел 5. Лекция 6. Качество процесса автоматического управления

Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001. С.113-326.

Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. С.243-564.

Коганов В.Ю., Блинов О.М., Беленький А.М. Автоматизация управления металлургическими процессами. М.: Металлургия, !974. С.17-80.

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. С.154-356.

Глинков Г.М., Косырев А.И., Шевцов Е.К. Контроль и автоматизация металлургических процессов. М.: Металлургия, 1989. С.94-143.

Майзель М.М. Автоматика и системы управления производственными процессами. М.: Высшая школа,1972. С.85-264.

На каком принципе базируютсячастотные критерии устойчивости?

Как определяется устойчивость САУ по логарифмическому АФХ?

Как определяется устойчивость САУ по критерию Найквиста?

Как определяется устойчивость САУ по критерию Михайлова?

Как определяется устойчивость САУ по критерию Рауса - Гурвица?

Как зависит рнреходный процесс от вида входного параметра?

Какие виды переходных процессов Вы можете привести?

Какие типы процессов регулирования обычно рекомендуют в производстве?

 

Литература по лекции 5.

 

1.Ульянов В,А., Леушин И.О., Гущин В,Н. Технологические измерения, автоматика и управление в технических системах. Ч.1. Н.Новгород: НГТУ, 2000. –С.7-77.

8.Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.1 /Под ред. К.А. Пупкова. М.: МГТУ, 2004. С.113-326.

 

Динамические свойства системы и, следовательно, качество процесса регулирования оценивают некоторыми количественными критериями (см. предыдущий параграф). Так как переходные процессы зависят не только от структуры системы, но и от характера изменения воздействий, приложенных к ней, то для оценки качества процесса регулирования и выявления динамических свойств системы в рассмотрение вводят типовые воздействия, которые являются среди всех возможных воздействий наиболее неблагоприятными или наиболее характерными (рис.5.82).

В случае, когда воздействие, являясь случайным процессом, не может быть заменено типовым сигналом в виде известной функции времени, для оценки качество применяют вероятностные методы, определяя динамическую точность системы по величине среднеквадратичной ошибки или среднеквадратичной отклонения регулируемой величины.

В качестве типовых воздействий часто используют скачкообразные функции, например единичный скачок; дельта – функцию; движения, соответствующие движению с постоянной скоростью и постоянным ускорением; гармонические воздействия и др.

Скачкообразные сигналы являются характерными для систем автоматической стабилизации или для систем, в которых регулируемая величина должна поддерживаться на постоянном уровне. Скачкообразные воздействия в регуляторах скорости и напряжения могут возникать в результате внезапно подключения или отключения потребителей механической или электрической энергии.

Скачкообразные функции типа единичного скачка скорости задающей оси и скачка ускорения часто используются в следящих системах для определения, например, в установившемся режиме статической ошибки, скоростной ошибки, скоростной ошибки и ошибки от ускорения. Воздействия в виде скачка скорости или движения задающей оси с постоянной скоростью используются в следящих системах с астатизмом первого порядка. Воздействие в виде скачка ускорения или движения задающей оси с постоянным ускорением являются характерными для следящих систем с астатизмом второго порядка.

 

Импульсное воздействие типа дельта – функции возникает в системах с резким и значительным изменением нагрузки на выходе за время, значительно меньшее времени переходного процесса системы.

Для систем регулирования, работающих в условиях качки, при которых возмущения содержат периодическую составляющую, определение качества осуществляется при гармонических воздействиях, что позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системы.

При скачкообразных воздействиях для рассмотрения переходных функций обычно используют такие качественные оценки, как запас устойчивости; ошибки в установившемся состоянии, характеризующие статическую точность; время переходного процесса, перерегулирование и число колебаний в течение всего времени переходного процесса.

Следует отметить, что перерегулирование, или колебательность, возникает не всегда: их появление зависит от вида корней характеристического уравнения и, следовательно, от характера затухания процесса. Если все корни характеристического уравнения вещественны, то затухание процесса будет апериодическим и может соответствовать одной из кривых, приведённых на рис.5.82, а. В случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются сопряжённые комплексные корни, процесс будет колебательным (кривая 3, рис.5.82, б). В апериодическом процессе могут существовать колебания (кривая 2, рис.5.82, а), но их число всегда конечно. В колебательном процессе число колебаний при затухании бесконечно велико. Апериодический процесс, протекающий без колебаний, является монотонным (кривая 1, рис.5.82, а). Колебательный процесс может быть также монотонным (кривая 4, рис.5.82, б). Подобный процесс может описываться, например, уравнением третьего порядка, если колебательная составляющая, определяемая парой сопряжённых комплексных корней, затухает быстрее экспоненциальной составляющей, определяемой одним вещественным корнем. В монотонных процессах перерегулирование отсутствует.

Качественные оценки переходного процесса в виде времени регулирования, перерегулирования и числа колебаний за время регулирования используется и в случае воздействия типа дельта – функции.

 

 

При гармонических воздействиях качество системы в переходном режиме оценивается показателем колебательности М, который определяется максимальной величиной ординаты АЧХ замкнутой системы (рис.5.83). Для гармонических воздействий показатель М является прямым критерием качества переходного процесса, но он часто используется и для оценки качества следящих систем при негармонических воздействиях, выступая в этих случаях как критерий косвенный. Опыт эксплуатации САР показывает, что для удовлетворительного качества переходного процесса показатель колебательности М не должен быть больше значений 1,25 – 1,3. Частота , соответствующая пику АЧХ, называется резонансной.

Качественные оценки процесса регулирования в установившемся и переходном режимах можно было бы получить путём решения дифференциального уравнения и построение кривой переходного процесса. Однако решение в аналитическом виде возможно только в случае линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и сопряжено с трудностями нахождения корней характеристического уравнения.

Вследствие этого применяют косвенные методы оценки качественных показателей, которые не требует решения дифференциальных уравнений. В то же время косвенные методы дают возможность установить связь между параметрами системы и показателями качества процесса регулирования.

К числу косвенных относятся корневые, частотные и интегральные методы.

Передаточная функция замкнутой системы может быть записана в виде

где - нули передаточной функции или корни многочлена - полюсы передаточной функции или корни многочлена . Многочлен определяет характеристическое уравнение, поэтому полюсы передаточной функции являются корнями характеристического уравнения.

Если изображение входного сигнала , то изображение регулируемой величины

показывает, что переходный процесс зависит не только от полюсов, но и от нулей передаточной функции. Иначе говоря, переходный процесс определяется как левой, так и правой частями дифференциального уравнения.

В частном случае, когда передаточная функция не имеет нулей и правая часть дифференциального уравнения соответствует умножению входного воздействия на постоянный коэффициент, переходный процесс зависит только от распределения полюсов передаточной функции и его изображение

.

 

Рис.5.84.Границы областей расположения полюсов

 

Для ограничения областей распределения полюсов обычно используют понятия степени устойчивости , колебательности и абсолютного значения вещественной части наиболее удалённого от мнимой части полюса (рис.5.84).

Степенью устойчивости называется абсолютная величина вещественной части корня, расположенного ближе всех остальных к мнимой оси. Отношение мнимой части к действительной в той паре комплексных сопряжённых корней, которые дают наибольший угол 2(рис.3.44), называются колебательностью .

Три указанных характеристики распределения полюсов передаточной функции образуют трапецию АВСD, внутри которой и на сторонах её располагаются корни характеристического уравнения.

Понятие степени устойчивости в качественном отношении связано с понятием быстродействия или длительности переходного процесса.

Чтобы корни характеристического уравнения реальной системы находились в области АВСD и система обладала степенью устойчивости не меньшей заданной, а также колебательностью не больше установленной величины, необходимо надлежащим образом выбрать коэффициенты характеристического уравнения. В случае известных коэффициентов характеристического уравнения нужно уметь определять основные характеристики распределения полюсов передаточной функции без вычисления корней характеристического уравнения.

Определение корневых характеристик и использование их для оценки качества. Пусть имеется характеристическое уравнение третьего порядка

.

Разделив это уравнение на и вводя новую переменную , получим характеристическое уравнение в форме Вышнеградского:

,

где .

Подобное преобразование не изменяет характера распределения корней исходного уравнения.

Применяя к уравнению Вышнеградского понятие смещённого уравнения используя формулы для определения коэффициентов , получим , где ;

; - степень устойчивости уравнения Вышнеградского, связанная со степенью устойчивости характеристического уравнения соотношением .

По критерию Гурвица условиями устойчивости для характеристического уравнения являются неравенства A>0; B>0; AB>1. Границы области устойчивости определяется уравнением АВ=1.

На рис.5.85 по последнему равенству на плоскости двух параметров А и В построена равнобокая гипербола (кривая, соответствующая ), которая разбивает плоскость на две области. Область, ограниченная гиперболой и осями координат, соответствует неустойчивому процессу. Областью устойчивости является часть плоскости, расположенная над гиперболой. Это следует из условий устойчивости.

На диаграмме Вышнеградского в области I один вещественный и два сопряжённых комплексных. Так как ближе к мнимой оси расположены комплексные корни, то колебательная составляющая будет затухать медленнее по сравнению с экспонентой. Переходный процесс будет иметь колебательный характер. В области III ближе к мнимой оси расположен вещественный корень, поэтому экспоненциальная составляющая затухает медленнее, чем колебательная составляющая. Эта область соответствует монотонным процессам. В области II расположены вещественные корни, и поэтому она определяет апериодические процессы.