Векторные величины

В физике имеются многие величины, для знания которых недостаточно знать, чему равна эта величина. Рассмотрим простую задачу. Пусть идет пешеход с постоянной скоростью 5 км/ч. Известно, что в 12 часов дня он находился в пункте А. Требуется определить, где будет находиться пешеход в 14 часов. Зная только величину скорости пешехода, мы можем только сказать, что в 14 часов он будет находиться на расстоянии 10 км от пункта А. Но все возможные точки нахождения пешехода будут находиться на окружности радиусом 10 км с центром в точке А. Для определения точного положения пешехода нам нужно еще знать в какую сторону он идет. Значит, для практических целей нам недостаточно знать величину скорости тела. Требуется еще знать, куда эта скорость направлена. Имеется еще очень много физических величин, для характеристики которых требуется знание, как размера этой величины так и ее направления.

Физические величины, характеризуемые размером величины и ее направлением, называются векторными. Размер векторной величины чаще называется ее модулем. В отличие от векторных, величины, характеризующиеся только своим значением, называются скалярными. Значение скалярной величины иногда может иметь знак. При этом говорят, что скалярная величина характеризуется своим значением (которое тоже часто называется модулем) и знаком. При этом имеются скалярные величины, которые по своему физическому смыслу не могут принимать отрицательные значения (например, масса или пройденный путь). А некоторые скалярные величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Заметим, что векторные величины знаком не характеризуются, то есть не бывает отрицательных векторов.

Векторные величины на рисунках принято изображать в виде стрелок. Причем направление стрелки указывает направление векторной величины, а длина стрелки определяется ее модулем. Обозначаются векторные величины буквами. Причем на рисунках над буквой, обозначающей векторную величину рисуется стрелочка, а в печатном тексте эти буквы печатаются жирным шрифтом.

Пусть при своем движении тело переместилось из точки А в точку В. Величину изменения положения тела можно определить как расстояние от точки А до точки В. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Определяемое таким образом пройденное расстояние называется перемещением. Причем, перемещение – векторная величина. Перемещением - Δr - называется вектор, начало которого совпадает с начальным положением тела (точка А), а конец - с конечным положением (точка В). Однако, тело из начальной точки в конечную перемещалось не обязательно по прямолинейной траектории. Поэтому существует еще одна величина, характеризующая величину изменения положения тела – путь. Пройденным путем - S - называется длина траектории перемещения тела. Путь – скалярная и всегда положительная величина. Причем путь всегда больше или равен модуля вектора перемещения. Так если в результате движения тело вернулось в исходное положение, то есть точки А и В совпадают, то перемещение тела равно нулю, а путь больше нуля.

Векторные величины можно складывать. Так пусть, например, тело сначала переместилось из точки А в точку В, а затем еще переместилось в точку С. Суммарное перемещение Δr_AC равно сумме перемещений Δr_AВ и Δr_ВC. На рисунке суммарный вектор Δr_AC является третьей стороной в треугольнике, образованном векторами Δr_AВ и Δr_ВC. Аналогичным образом складываются все векторные величины. Для того, чтобы сложить два вектора а и b, необходимо нарисовать их друг за другом так, чтобы начало вектора b совпадало с концом вектора а. Вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b и является суммой векторов а и b. (c = a + b). Этот способ сложения векторов называется правилом треугольника. Можно складывать вектора по правилу параллелограмма. Для этого складываемые вектора надо нарисовать из одной точки, дорисовать получившуюся фигуру до параллелограмма и провести в нем из той же точки диагональ. Она и будет суммой векторов. Для того, чтобы сложить более чем два вектора, можно сложить сначала два из них, затем к их сумме прибавить третий и так далее. Естественно, для суммы векторов справедливо правило: a + b = b + a.

Вектора можно вычитать. Для того, чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор противоположный вектору b: c = a – b = a + (-b). Заметим, что –b – это не отрицательный вектор, а вектор противоположный вектору b, то есть вектор по модулю равный вектору b, а по направлению противоположный ему. Кстати, введенный выше вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус – векторов, определяющих положения тела: Δr = r₂ – r₁.

Вектор можно умножать на скаляр. Если вектор а умножить на скаляр α, то получится вектор с = α·а, направление которого совпадает с направлением вектора а, а модуль в α раз больше.

Вектора можно скалярно умножать друг на друга. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр , где и - модули векторов а и b, а α – угол между ними. Замети, что результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр. Причем знак этого произведения может быть как положительный, так и отрицательный. Это определяется знаком косинуса. Если угол между векторами острый, то их скалярное произведение положительно, а если тупой – то отрицательно.

Пусть есть вектор а и координатная ось Х. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на координатную ось. Длина отрезка на координатной оси между основаниями этих перпендикуляров – а_х - является проекцией вектора а на ось Х. Проекция вектора на ось – величина скалярная. При этом она может быть положительной и отрицательной. Если вектор и ось направлены преимущественно в одну сторону, то проекция вектора на ось положительна, а если вектор и ось направлены в противоположные стороны, то отрицательна. Так проекция вектора а на ось Х положительная, а проекция вектора b на ту же ось отрицательная. Если вектор и ось взаимно перпендикулярны, то проекция вектора на ось равна нулю. Если угол между вектором а и осью Х равен α, то проекция вектора на ось равна: . На рисунке изображен вектор а и система координат XY. Если угол между вектором и осью Х равен α, то угол между вектором и осью Y равен 90° - α. При этом проекция вектора а на ось Х равна , а на ось Y -. Если известны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат, то модуль вектора можно выразить как .

Если , то . Аналогично в проекции на ось Y.

Скалярное произведение векторов а и b можно выразить через их проекции: .

Любой вектор можно представить в виде суммы двух или более векторов. Часто вектора представляют в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов, направленных вдоль координатных осей X и Y. На рисунке представлено разложение вектора а на два взаимно перпендикулярных вектора а_х и а_y. Вектора а_х и а_y называются составляющими вектора а по направлениям Х и Y.