Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Динамика жидкости

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.4.1)

Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем ₁, давление p₁, а высота расположения центра тяжести сечения отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения, z₁. Во втором сечении соответственно dS₂, ₂, p₂ и z₂. За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение .

Рис.4.1

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики об изменении кинетической энергии суть, которой в том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести.

Найдем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt.

Работа силы давления в первом сечении положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁dS₁ на путь ₁dt:

p₁dS₁₁dt.

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус и определяется выражением

- -p₂dS₂₂dt.

Силы давления, действующие на боковую поверхность струйки, работы не производят, т.к. они нормальны к этой поверхности, а, следовательно, нормальны к перемещениям.

Тогда работа сил давления будет

p₁₁dS₁dt-p₂₂dS₂dt. (4.1)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1 – 2 вычесть энергию положения жидкости в объеме . При этом энергия положения промежуточного объема сократится, и останется лишь разность энергии элементов , . Если учесть уравнение расхода (3.3.), то нетрудно заметить, что объемы, а следовательно, и силы тяжести заштрихованных элементов и равны между собой:

. (4.2)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести dG:

. (4.3)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема вычесть кинетическую энергию объема 1 – 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов и , сила тяжести каждого из которых равна dG.

Таким образом, приращение кинетической энергии равно

. (4.4)

Сложив работу сил давления (4.1) с работой силы тяжести (4.3) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (4.4), получим

. (4.4’)

Разделив обе части уравнения на dG, и произведя сокращения, получим

 

или

(4.5)

где z – геометрическая высота, или геометрический напор;

- пьезометрическая высота, или пьезометрический напор;

- скоростная высота, или скоростной напор .

Уравнение (4.5) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Трехчлен вида

называется полным напором.

Уравнение (4.5) записано для двух произвольно взятых сечений и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение

=const (вдоль струйки)

Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров (высот); геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки (геометрический смысл уравнения Бернулли).

Это положение иллюстрируется графиком (рис.4.2), где показано изменение всех трех высот вдоль струйки. Линия изменения пьезометрических высот называется пьезометрической линией.

Для горизонтального участка струйки из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т.е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот (физич. смысл ур. Бернулли)

 

Рис.4.2. Изменение пьезометрического и скоростного напоров вдоль струйки идеальной жидкости.

Штриховой линией показана пьезометрическая кривая при увеличении расхода в раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в 2 раза, а в узкой части струйки давление становится меньше атмосферного.

Это была геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.

А теперь рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли.

Разделим уравнение (4.4’) на массу dm участка, равную

и преобразуем уравнение подобно предыдущему. Тогда вместо выражения (4.5) будем иметь

. (4.6)

Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице массы.

Члены уравнения (4.6) являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:

gz – удельная энергия положения, т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте z, обладает энергией положения равной gz, а на единицу массы приходится энергия .

- удельная энергия давления движущейся жидкости;

- удельная потенциальная энергия жидкости;

- удельная кинетическая энергия жидкости;

- полная удельная механическая энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.