Для струйки реальной жидкости

Уравнение Д. Бернулли

 

Напишем уравнения Навье-Стокса в развернутом виде, ограничиваясь рассмотрением только установившегося движения:

(4.29)

С учетом того что для всех точек оси струйки

преобразуем первое уравнение системы (4.29) следующим образом:

или

Аналогично второе и третье уравнения системы (4.29) можно привести к виду

;

.

Пусть объемные силы, действующие на жидкость, имеют потенциал:

Сложив полученные уравнения и сгруппировав слагаемые соответствующим образом, получим

. (4.30)

В правой части уравнения (4.30) второе слагаемое выражает работу, затраченную на преодоление сил вязкости при перемещении единицы массы жидкости на расстояние dS.Перепишем уравнение (4.30) в виде

(4.31)

Интегрируя выражение (4.31) на участке между сечениями 1-1 и 2-2 длиной S по оси струйки, получим

или

(4.32)

где

Уравнение (4.32) и является уравнением Д. Бернулли для струйки реальной жидкости.

Величина A является энергией, потерянной единицей массы жидкости на участке между сечениями 1-1 и 2-2. Теоретически определить величину в общем случае чрезвычайно трудно вследствие сложности интегрирования уравнения Навье-Стокса.

Обозначая потерянную работу, совершаемую единицей веса жидкости против сил сопротивления при перемещении её из сечения 1-1 в сечение 2–2 (рис.4), через и допуская, что П= -gZ, уравнение (4.32) можно представить в виде

. (4.33)

Как видим, в случае реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению движения. В соответствии с этим график уравнения Бернулли для струйки реальной жидкости (рис.4) будет отличаться от аналогичного графика для идеальной жидкости.

Рис. 4