Гидродинамических процессов

Критерии подобий и моделирование

 

В связи с тем что в большинстве случаев практика решений уравнений Навье-Стокса встречает затруднения, в гидродинамике считают целесообразным прибегать к экспериментированию на моделях. При этом требуется соблюдение одновременного геометрического, кинематического и динамического подобия модели и натурного объекта.

Условимся все величины, относящиеся к модели, обозначать индексом М, а к натуре –Н.

Геометрическое подобие предусматривает пропорциональность сходственных линейных размеров. Если l_н –некоторый размер в натуре, а l_м−сходственный размер на модели, то при соблюдении геометрического подобия , где −геометрический масштаб моделирования. Имея в виду , отношение площадей и объемов можно выразить как

Кинетическое подобие заключается в соблюдении пропорциональности скоростей в сходственных точках натуры и модели в соответствующий момент времени , где −кинематический масштаб моделирования. Для кинематически подобных систем соотношение также является постоянной величиной. Здесь −масштаб времени, t_н и t_м –промежутки времени, в течение которых происходит процесс в натуре и на модели.

Динамическое подобие выражается пропорциональностью векторов сил, действующих в сходственных точках модели и натуры, т.е.

где −масштаб сил. Для всех пар сходственных точек динамически подобных систем

где и −соответственно масштабы плотности и вязкости.

Динамически подобные системы могут быть названы механически подобными.

Для получения условий механического подобия применим метод, основанный на анализе дифференциального уравнения движения.

Запишем дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса) для двух сходственных точек натуры и модели:

(4.7)

;

Отнесем все физические величины уравнения (4.7) к соответствующим масштабам и получим выражение

(4.8)

Разделив уравнение (4.8) на , получим

(4.9)

Заметим, что для механически подобных систем необходимо, чтобы

движение частиц жидкости в сходственных точках описывалось одинаковыми уравнениями.

Из сопоставления уравнений (4.7) и (4.9) видно, что они будут одинаковыми при равенстве безразмерных множителей в уравнении (4.9) единице, т.е.

или

откуда

В общем случае между полученными критериями подобия существует функциональная связь:

(4.10)

При установившемся движении жидкости локальная составляющая инерционной силы в дифференциальном уравнении Навье-Стокса отсутствует и, следовательно, число Струхаля из уравнения (4.9) выпадает, тогда функциональная связь принимает вид

(4.11)

Условия моделирования, требующие одновременного соблюдения для натурного объекта и его модели одинаковости критериев Re и Fr не всегда могут быть выполнены:

Предположим сначала, что в опытах на модели применяется та же жидкость, что и в натуральном обьекте, так что . Тогда, чтобы удовлетворить условию одинаковости критерия Re, соотношение между скоростями течений в модели и в натурном объекте должно быть равно

, (4.12)

в то время как для соблюдения подобия по критерию Fr необходимо выполнение соотношения

. (4.13)

Несовместимость этих двух требований исключает возможность использования для модели жидкости с тем же значением кинематической вязкости, что и в натурном обьекте. Соотношение между должно быть определено из критерия Re так, чтобы одновременно было соблюдено соотношение (4.13), вытекающее из критерия Fr.

Находим, что

Естественно, что чем меньше будет масштаб модели, тем затруднительнее окажется подбор «модельной» жидкости. Даже при таком, например, сравнительно большом масштабе модели, как ¼ натуральной величины, «модельная» жидкость должна обладать вязкостью в восемь раз меньшей, чем в натурном объекте.

Подбор жидкости со столь отличной вязкостью далеко не всегда оказывается возможным.

В тех случаях, когда строгое моделирование оказывается невыполнимым, прибегают к приближенному моделированию. При этом во внимание принимается лишь один из названных критериев, тот, который для данной задачи имеет наиболее существенное значение.

При больших значениях критерия Рейнольдса, что отвечает значительному преобладанию инерционных сил над силами вязкости, можно в уравнении Навье-Стокса силами вязкости пренебречь. Тем самым критерий Рейнольдса окажется исключением из всех критериев. В таком случае для установившегося движения несжимаемой жидкости (при отсутствии влияния на движение массовых сил) критерий Эйлера Eu становится определяющим:

. (4.14)

Область значения критерия подобия, в которой он практически перестает быть критерием, называется автомодельной относительно данного критерия.