Дифференциальные уравнения движения

вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса)

 

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости могут быть составлены путем дополнения уравнений Л.Эйлера слагаемыми, учитывающими вязкость жидкости. Тогда уравнения Эйлера запишутся в виде

(4.3)

где Fx ,Fy, и Fz −проекции сил вязкости, отнесенные к единице массы жидкости, на координатные оси. Найдем силы Fx ,Fy и Fz , предполагая, что жидкость движется слоями, т.е. без перемешивания. Под действием сил вязкости возникают как тангенциальные, так и нормальные напряжения.

Выделим элемент движущейся жидкости в форме параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям, и определим сумму проекций сил вязкости, действующих только на те три грани параллелепипеда, которые образуют трехгранный угол с вершиной А (рис. 2).

Рис.2

Для удобства дальнейших рассуждений введем двойную индексацию напряжения, например: для нормального напряжения − рхх, касательного напряжения −и т.д. Здесь первый индекс указывает на то, что площадка, для которой определяется напряжение, расположена нормально к данной оси координат, а второй –направление действия напряжения. С учетом этого получим выражение для проекций сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А:

ось ОХ ; ; ;

ось ОY ; ; ;

ось ОZ ; ; .

Переходя затем к проекциям сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной С, отметим, что напряжения на этих гранях будут отличаться от напряжений на гранях трехгранного угла с вершиной А.

Итак, выражения для проекций сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной С:

ось ОХ ; ; ;

ось ОY ; ; ;

ось ОZ ; ; ;

где для оси OX

Аналогичные уравнения можно получить и для двух других осей координат.

Составим теперь уравнение для силы, представляющей собой сумму проекций на ось OX сил вязкости.

Полагая, что направление сил, действующих на грани угла с вершиной , противоположно направлению сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А, получим

Но

в силу чего, делая соответствующую подстановку, найдем

Сила Fx, входящая в уравнение Эйлера, как указано выше, представляет собой проекцию силы вязкости, отнесенной к единице массы жидкости, т.е. где в данном случае а поэтому для силы Fx получим выражение

(4.4)

где рхх −нормальные, и касательные напряжения.

Касательные напряжения в пределах грани dxdy остаются одинаковыми для всех ее точек, т.е. не зависят от координат X и Y и изменяются только при перемешивании этой грани вдоль оси OY, т.е. зависят от координаты Y.

Другими словами, −это касательные напряжения, зависящие только от градиента скорости Поэтому в соответствии с законом внутреннего трения в жидкости Ньютона а (по аналогии).

Рассмотрим производную . Здесь Pxx представляет собой нормальное к площадке dydz напряжение, обусловленное влиянием вязкости (сжатие в условиях торможения и растяжение при ускоренном движении). Поэтому можно допустить, что напряжение Pxx может также определяться по закону Ньютона , тогда

Делая соответствующие подставки в уравнение (4.4), получим

,

или, так как

Аналогично для других координатных осей можно записать

Вводя теперь полученные выражения для сил Fx,Fy,Fz в систему уравнений (4.3), после некоторой перестановки слагаемых получим дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости:

(4.5)

или окончательно

(4.6)

где −оператор Лапласа.

Эти уравнения именуются уравнениями Навье-Стокса. Они составляют основу гидродинамики реальной жидкости.

При решении конкретных задач о движении несжимаемой жидкости к уравнениям Навье-Стокса необходимо добавить уравнение неразрывности в форме

Таким образом, мы получаем замкнутую систему четырех уравнений, достаточную для определения четырех неизвестных величин: трех компонентов скорости Ux,Uy,Uz и давления P.

Кроме того, для определения произвольных постоянных и произвольных функций, появляющихся при интегрировании, должны быть сформулированы так называемые краевые условия, т.е. начальные и граничные условия.

Начальные условия, о которых может идти речь лишь в случае не стационарного движения, указываются посредством задания поля скоростей и давлений в какой-нибудь определенный (начальный) момент времени t=tx.

Задание граничных условий для случая движения вязкости жидкости сводится к признанию того факта, что частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с поверхностью твердого тела, прилипают к ней и поэтому имеют одинаковую с ней скорость.

В частном случае при обтекании неподвижного тела граничное условие для скорости вязкой жидкости должно быть записано в виде V = 0.

Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости представляют собой нелинейные уравнения второй степени в частных производных. В самом общем виде эти уравнения не могут быть проинтегрированы. Их решение возможно лишь для частных случаев, допускающих упрощение этих уравнений путем отбрасывания тех или иных членов. Уравнения движения критериев гидродинамического подобия будут рассмотрены ниже.