Два метода изучения движения жидкости

И УРАВНЕНИЯ КИНЕМАТИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ГИДРОСТАТИКА.

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

В методе Лагранжа наблюдают за движением каждой отдельной частицы жидкости, исследуя её траекторию. Координаты X₀, Y₀, Z₀, соответствующие начальному моменту времени t = t₀, присва­иваются частице как наименование, позволяющее в любой момент времени отличить её от других частиц.

Положение любой частицы в процессе движения, определяемое значением её радиуса – вектора или декартовых координат X, Y, Z, будет функцией её начальных координат (X₀, Y₀, Z₀) и времени ( t ):

(3.1)

где X₀, Y₀, Z₀ называют переменными Лагранжа.

Чтобы получить скорость определенной частицы и её проекции на координатные оси, следует продифференцировать уравнения (3.1) по времени (t), считая начальные координаты X₀, Y₀, Z₀ постоянными:

(3.2)

Величину ускорения определенной частицы и ее проекции на координатные оси получим, продифференцировав уравнение (3.2) по времени, по-прежнему считая начальные координаты постоянными.

Производная во времени, вычисляемая в переменных Лагранжа, получила название индивидуальной или субстанциональной (поскольку она относится к определенной частице субстанции).

Метод Лагранжа, дающий весьма подробное описание поведения движущейся частицы, не получил, однако, широкого распространения из-за своей громоздкости и сложности:

(3.3)

Для решения большинства практических задач представляет интерес не столько поведение индивидуальной частицы, сколько со­стояние движения в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Такое описание движения жидкости проводится при помощи метода Эйлера. В этом методе внимание наблюдателя сосредоточива­ется не на той или иной частице, а на определенной точке пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуется зависимость скорости различных частиц, непрерывно следующих одна за другой через эту точку от координат этой точки X, Y, Z и от времени t:

,

или в проекциях на оси координат:

(3.4)

где X, Y, Z − называют переменными Эйлера.

Величины X, Y, Z имеют в методах Лагранжа и Эйлера различный смысл. В первом методе эти величины представляют переменные координаты одной и той же движущейся жидкости, во втором являются постоянными координатами одних и тех же точек пространства, через которые в разные моменты времени проходят различные частицы жидкости.

Если в уравнениях (3.4) считать t постоянным, а X, Y, Z переменными, то получим распределение скоростей частиц жид­кости в пространстве для определенного момента времени.

При постоянных значениях X, Y, Z и переменном t получим зависимость скорости жидкости от времени для данной точки пространства, причем в разные моменты времени определяемые значения скорости будут относиться к различным частицам жидкости.

В том случае, когда желательно выяснить, каким образом изменяется скорость с течением времени в данной точке (X, Y, Z) пространства, следует продифференцировать уравнения по време­ни, считая координаты X, Y, Z величинами постоянными.

Если же нас интересует вопрос о том, какое ускорение испытывает определенная частица, проходящая в данный момент времени через точку (X, Y, Z) пространства, то следует рассматривать координаты X, Y, Z как величины переменные, зависящие от времени, ибо за тот бесконечно малый промежуток времени dt ,в течение которого ведется наблюдение за изменением скорости частицы, она успевает перейти из точки (X, Y, Z) в другое положение.

Таким образом, скорость частицы зависит от времени как непосредственно, так и через посредство координат X, Y, Z в свою очередь являющихся функциями времени. Поэтому ускорение частицы следует вычислить, пользуясь уравнением (3.4) по правилу дифференцирования сложной функции:

. (3.5)

Так как

,

имеем

. (3.6)

Аналогично для компонентов ускорения частицы

(3.7)

Первый член правой части уравнения (3.7) выражает локальное (местное) ускорение частицы. Он характеризует изменение скорости во времени в данной точке пространства, обусловленное нестационарностью скоростного поля. Последующие три члена представляют изменения скорости частицы, обусловленные изменением её координат, и называются конвективными ускорениями.

Вынося из уравнений (3.6) символически за скобку вектор скорости , получим

.

Выражение в скобках может быть представлено как скалярное произведение вектора скорости:

,

на символический вектор (дифференциальный оператор набла):

,

и записано в виде

.

Аналогичные преобразования могут быть проведены и в осталь­ных уравнениях (3.7) для компонентов ускорения по координатным осям (X, Y, Z). После этого можно переписать уравнения (3.6) и (3.7) в виде

; (3.8)

(3.9)