БИБЛИОТЕКА ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

Классификация кривых второго порядка.

Рекомендуемая литература

II. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Literatur

1. Маслова 2008: 19 – 59.

2. Гончарова 2005: 3 - 50.

3. Бахтин 1986: 474.

4. Schendels 1988: 402 - 403.

5. Девкин В.Д. Диалог. – М.: Высшая школа, 1981. – С. 5 – 8.

а) Основная литература

Admoni, W. Der deutsche Sprachbau [Текст] / W. Admoni. – M.–Л.:Просвещение, 1966 (L., 1972, M., 1986). – 384 с.

Moskalskaja, O.I. Grammatik der deutschen Gegenwartssprache [Текст] / О.I. Moskalskaja. – M.: Hochschule, 1975. – 384 S.

б) Дополнительная литература

Абрамов, Б.А.Теоретическая грамматика немецкого языка [Текст] / Б.А.Абрамов. – М.: Владос, 1999. – 246 c.

Адмони, В.Г Синтаксис современного немецкого языка [Текст] / В.Г. Адмони. – Л.: Наука, 1973. – 366 с.

Амзаракова И.П., Савченко В.А. Стилистика: выразительные средства немецкого языка: учебное пособие [Текст] / И.П. Амзаракова, В.А. Савченко. – Абакан: Изд-во ХГУ им. Н.Ф. Катанова, 2009. – 140 с.

Бахтин М.М. Проблема текста в лингвистике, филологии и других гуманитарных науках. Опыт филологического анализа // Литературно-критическая статья / Сост. С. Бочаров и В. Кожинов [Текст] / М.М. Бахтин. – М.: Худож. лит., 1986. – 546 с.

Гончарова Е.А. Интерпретация текста. Немецкий язык: Учеб. пособие [Текст] / Е.А. Гончарова, И.П. Шишкина. – М.: Высшая школа, 2005. – 368 с.

Гулыга, Е.В. Теория сложноподчиненного предложения в современном немецком языке [Текст] / Е.В. Гулыга. – M.: Высшая школа, 1971. – 206 с.

Гулыга, Е.В. Грамматико-лексические поля в современном немецком языке [Текст] / Е.В. Гулыга, Е.И. Шендельс. – М.: Просвещение, 1969. – 184 с.

Малинович, Ю.М. Экспрессия и смысл предложения: Проблемы эмоционально-экспрессивного синтаксиса [Текст] / Ю.М. Малинович. – Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1989. – 215 с.

Маслова, В.А. Современные направления в лингвистике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений [Текст] / В.А. Маслова. – М.: Академия, 2008. – 272 с.

Михайлов,Л.М. Коммуникативная грамматика немецкого языка. // Учебник для институтов и факультетов иностранных языков [Текст] / Л.М. Михайлов. – М.: Высшая школа, 1994. – 256 с.

Москальская, О.И. Проблемы системного описания синтаксиса [Текст] / О.И.Москальская. – М.: Высшая школа, 1984. – 175 с.

Степанова, М.Д. Части речи и проблема валентности в современном немецком языке [Текст] / М.Д. Степанова, Г. Хельбиг. – М.: Высшая школа, 1978. – 258 с.

Филичева, Н.И. О словосочетаниях в современном немецком языке [Текст] / Н.И. Филичева. – М.: Высшая школа, 1969. – 253 с.

Харитонова, И.Я. Теоретическая грамматика немецкого языка. Синтаксис [Текст] / И.Я. Харитонова. – Киев, 1976. – 179 с.

Шендельс, E.И. Mногозначность и синонимия в грамматике [Текст] / Е.И. Шендельс. – M.: Высшая школа, 1970. – 202 с.

Döring, B. Übungstexte zur deutschen Grammatik [Text] / B. Döring, G. Hänse u.a. – Leipzig, 1983. – 237 S.

Duden-Grammatik [Text] 5.Auflage. – Dudenverlag Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, 1995. - 504 S.

Erben, J. Abriss der deutschen Grammatik [Text] – Berlin, 1965. – 458 S.

Erben, J. Deutsche Grammatik. Ein Abriss [Text]. – München, 1972. – 316 S.

Faulseit, D. Stilistische Mittel und Möglichkeiten der deutschen Sprache [Text] // D. Faulseit, G. Kühn. – VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1975. – 286 S.

Helbig, G. Deutsche Grammatik. Ein Handbuch für den Ausländerunterricht [Text] / G. Helbig, J. Buscha. – Leipzig, 1975. – 316 S.

Helbig, G. Wörterbuch zur Valenz und Distribution der deutschen Verben [Text] / G. Helbig, W. Schenkel. – Leipzig 1977. - 458 S.

Moskalskaja, O.I. Grammatik der deutschen Gegenwartssprache [Text] – M., 1971 (1975, 1983).

Schendels E. Deutsche Grammatik [Text] / E. Schendels. - М.: Высшая школа, 1988. – 489 с.

Schischkowa, L.W., I.I. Seminare in der theoretischen Grammatik der deutschen Gegenwartssprache [Text] / L.W. Schischkowa, I.I. Meiskina. – M., 1984. – 167 S.

Schmidt,W. Grundfragen der deutschen Grammatik [Text] / W. Schmidt. – Berlin, 1967 (1973).

Sommerfeldt, K.-E., Schreiber H. Wörterbuch zur Valenz und Distribution der deutschen Adjektive [Text]. – Leipzig, 1975. - 435 S.

Sommerfeldt, K.-E., Schreiber H. Wörterbuch zur Valenz und Distribution der deutschen Substantive [Text]. – Leipzig, 1977. - 432 S.

Starke, G. Entwicklungstendenzen in der deutschen Gegenwartssprache [Text] / G. Starke // Deutschunterricht, 1986, №2. – S. 604 - 609.

Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.

Пусть дано общее уравнение линии второго порядка:

. (1)

Задача состоит в том, чтобы перейти, от так сказать, «случайной» системы координат к «естественной» для данной кривой.

Уточним предъявляемые требования:

1. нужно добиться, чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат;

2. чтобы число членов первой степени стало меньшим (если возможно, - совсем их уничтожить);

3. кроме того, если возможно, уничтожить свободный член.

Уравнение, получаемое при соблюдении этих требований, называется каноническим.

Покажем на примерах, как следует выполнять необходимые действия, чтобы привести данное уравнение к каноническому виду.

Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравнения линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.

Привести к каноническому виду уравнение линии. Выполнить построение линии:

Прежде всего постараемся упростить выражение при помощи параллельного переноса координатных осей. Перенесём начало координат в точку , которую пока будем считать произвольной. Получим соответствующее преобразование координат по формулам (2): . Получим:

С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю:

Эти равенства должны выполняться для всех , т.е. получаем систему:

Тогда: или

Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку . При этом получим уравнение:

Чтобы избавиться от смешанного произведения , выполним поворот системы координат по формулам (4):

Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю:

Учитывая тригонометрические формулы, получаем:

Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось:

или, и тогда: и, окончательно,

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями

. Построим данную линию:

Рассмотрим ещё примеры: Пример 1. Построить следующую линию:

Из уравнения видим, что должно быть выполнено: . Возведём равенство в квадрат: . Тогда Получено уравнение окружности с центром в точке радиуса 4.

С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окружности.

Пример 2. Построить линию:

. Ограничение: Возведём последнее равенство в квадрат . Это уравнение параболы с вершиной в точке . . Построим линию:

-1

Ввиду условия , выбираем правую ветку параболы.

Лекция №

§ 7 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки , называемой полюсом; исходящего из этой точки луча , называемого полярной осью и масштабной единицей для измерения длин.

Для произвольной точки плоскости координатами в данной системе координат называют полярный радиус , вычисленный в масштабных единицах, и полярный угол между осью и радиус – вектором , т.е. ,

Чаще всего предполагают, что или Иногда допускаются отрицательные значения для , но при этом соответствующие значения откладываются на продолжении луча.

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Для этого совместим начало декартовой системы координат с полюсом полярной системы координат, а ось - с полярной осью:

Используя тригонометрические формулы легко получаются формулы переходаот декартовых координат к полярным:

(1)

и формулы обратного перехода от полярных координат к декартовым:

(2)

Чаще всего эти формулы используются комбинированно.

Окружность в полярной системе координат имеет уравнение , или , тогда данная линия имеет вид:

Аналогичным образом, окружность имеет в полярных координатах уравнение, и соответствующий рисунок линии выглядит следующим образом:

Окружность с центром в начале координат в полярных координатах имеет уравнение или .

Если задано уравнение линии в полярных координатах , то чтобы построить данную линию в полярной системе координат, заполняют таблицу значений этой функции в точках, вычисленных для значений аргумента , причём, чем больше , тем точнее будет построение линии.

Пример 1. Построить линию: .

Заполнить таблицу значений данной функции:

Построим данную линию

При построении линии в полярных координатах можно поступать и иначе, а именно, используя свойства соответствующих функций.

Пример 2. Пусть дано уравнение . Так как , то максимальное значение данная функция принимает при - ; минимальное значение будет в точке - .

Так как чётная функция, то также чётная функция и поэтому соответствующая линия симметрична относительно полярной оси. Таким образом, получаем линию:

Эту линию называют кардиоидой, имея ввиду её форму.

Пример 3. Построить линию .

Достаточно построить данную линию на промежутке , так как период данной функции равен . Учитывая, что в промежутке , следовательно . После этого, учитывая периодичность функции, можно построить ещё две части этой линии, которые получаются при .

В заключение параграфа напишем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Пусть - дуга эллипса, гиперболы или параболы:

Совместим фокус с полюсом, а ось симметрии - с полярной осью. Точка выбрана так, что . По свойству директрисы: . Пусть , или . Для точки имеем . Тогда, . Обозначив , получим . Следовательно, , отсюда: , или . Окончательно получаем уравнение:

. (3)

При - это уравнение эллипса; при - это уравнение одной ветки гиперболы; при - это уравнение параболы.

Пример 4. Построить линию и записать её уравнение в декартовой системе координат.

Можно произвести построение данной линии непосредственно в полярной системе координат, как в примере 1. Но в данном случае, учитывая формулу (3), это уравнение эллипса с . Поэтому более удобно сначала перейти к декартовым координатам и только после этого построить линию (менее трудоёмкий вариант решения). Преобразуем уравнение линии: . Используя формулы (1) и (2), получаем: