Биноминальное распределение

 

Вероятность Р(n,z) появления в выборке объемом n числа z дефектных изделий определяется по формуле:

 

 

 

где q – вероятность появления брака;

р – вероятность появления годного изделия;

− сочетание из n элементов по z;

q и р характеризуют устойчивость технологического процесса.

Допустим, что n = 30; q = 0,05; р = 0,95.

Р(n,z) = Р(30, z)– решение удобнее представить в табличном виде, т.е. значение z задавать в виде таблицы от 0 до z.

Пример. Вычислить вероятность появления в выборке дефектных изделий. Дано: 0 ≤ z ≤ 9; p = 0,95; q = 0,05; n = 30.

Определим, например Р(30, 4)

Оценки вероятности приведены в таблице.

 

Таблица – Оценка вероятности обнаружения дефектных изделий

Число дефектных изделий, z	Вероятность, Р(n,z)	Кумулятивная вероятность, F(n,z)
	0,2146	0,2146
	0,3389	0,5535
	0,2586	0,8122
	0,1270	0,9392
	0,0451	0,9844
	0,0124	0,9967
	0,0027	0,9994
	0,0005	0,9999
	0,0001	0,999998
	0,000001	0,999999

 

Кумулятивная вероятность – это накопленная вероятность F(n,z). Величина F(n,z) позволяет оценить накопление дефектных изделий в выборке, их общее число равно:

 

 

где k – число дефектных деталей, для которых выполняется расчет.

Допустим, что k = 4. Тогда (по данным таблицы):

 

 

 

Кумулятивная вероятность показывает тенденцию наполнения выборки негодными деталями.

Данные таблицы являются начальной информацией, которая далее позволит полностью определить условия контроля с помощью выборки.

На данном этапе это только информация для изучения. Графики плотности вероятности и кумулятивной вероятности показаны на рисунках.

0,2

0,4

F(n,z)

P(n,z)

0,3

0,1

 

 

z

Рис. Кумулятивная вероятность

z

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис. Плотность вероятности

 

Задача. Вычислить вероятность появления в выборке дефектных изделий по следующим данным: 0 ≤ z ≤ 5; p = 0,97; q = 0,03; n = 20.Построить графики плотности вероятности и кумулятивной вероятности.

 

Таблица – Оценка вероятности обнаружения дефектных изделий

Число дефектных изделий, z	Вероятность, Р(n,z)	Кумулятивная вероятность, F(n,z)
	0,5438	0,5438
	0,3360	0,8798
	0,1609	1,0407
	0,1183	1,1590
	0,0035	1,1625
	0,0003	1,1628

 

Графики плотности вероятности и кумулятивной вероятности