Для любой нормальной величины

Т.

Такая нормальная величина называется нормированной и обозначается

Носит название

Нормально распределенной величины

График плотности вероятности

кривой Гаусса:

 

График ее функции распределения –

интегральная кривая Гаусса:

 

 

Для определения вероятности попадания нормальной СВ в некоторый интервал

требуется вычисление интеграла от f(x), а этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях.

Поэтому ИЗ бесконечного множества нормальных величин с разными μ и σ выделяют одну,

у которой μ = 0, σ = 1.

 

Свойства Φ (t)

Φ(-∞) = 0, Φ(∞) = 1

Φ(0) = 0,5

*⁾ Φ (- t) = 1 - Φ (t)

 

Плотность вероятности нормированной нормальной величины

 

Функция распределения нормированной нормальной величины

Приближенные значения Φ (t) для значений аргумента t ≥ 0 вычислены и указаны в специальной таблице

("табулированы").

Для t < 0 значения Φ определяются, исходя из указанного выше свойства *).

Так, Φ (-1) = 1 – Φ (1); Φ (1) находим по таблице и подставляем в формулу.

Значения функции распределения F(х) произвольной нормальной величины можно определить через нормированную путем СПЕЦИАЛЬНОЙЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ:

Вероятность попадания значений нормальной величины в произвольный интервал

 

формула имеет следующий вид:

P(a<X<b) =

Значения Φ находятся по таблице нормального распределения.

 

Вероятность того, что значения нормальной величины

распределятся в окрестности ε (« эпсилон »)ее математического ожидания,вычисляется по формуле:

 

ε = σ

Чем больше окрестность ε,

тем выше вероятность попадания в нее

значений величины Х. Найдем эту вероятность при значениях ε,

кратных σ.

 

Пусть ε = σ. Тогда в правой части формулы получим:

2 Φ (1) - 1 =

=2 ∙ 0, 8413 -1 =

= 0, 6826

(или 68, 26%).

 

ε = 2σ, ε = 3σ

 

2) ε = 2σ.

Аналогичный расчет дает вероятность

0,9544

(или 95,44%).

 

 

2) ε = 2σ.

Аналогичный расчет дает вероятность

0,9544

(или 95,44%).

 

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ

ПРАКТИЧЕСКИ ДОСТОВЕРНО,