Оптимальное проектирование машин.

Оптимальное проектирование — процесс вы­бора по заданной математической модели проектируемого устройства значений его па­раметров, обеспечивающих экстремальные (максимум или минимум) значения не­скольких технико-экономических характерис­тик при условии, что другие характеристи­ки удовлетворяют заданной совокупности технических требований.[1]

Проектирование, целью которого является не только поиск функционально эффективных решений, но и удовлетворение разных, порой противоречивых потребностей людей, обоснованный выбор окончательного варианта, стали называть оптимальным проектированием (критериальным проектированием, вариантным проектированием). Активно оно начало применяться со второй половины 20 века благодаря достижениям теории принятия решений и теории исследования операций и широкому распространению вычислительной техники, позволившим разработать соответствующие методы, в обозримые сроки просчитывать многочисленные варианты и решать сложные математические задачи.

Большое значение в оптимальном проектировании отводится подготовке на этапе технического задания полного перечня требований к разрабатываемому объекту, выделению среди них показателей качества и преобразованию наиболее важных из них в критерии оптимизации. [3]

Задачи с определением одновременно экстремумов для нескольких целевых функций называют векторными или многокритериаль­ными задачами оптимизации.

С понятием оптимального проектирования иногда связывают понятие оптимального ме­ханизма. Так, совершенствование прецизионных механизмов, воспроизводящих фасон­ные поверхности таких деталей, как лопат­ки турбин, пуансонов, матриц, лопастей винтов, распределительных валов двигателей, связано с решением задач выбора опти­мальной схемы, параметров и закона движе­ния механизма. Оптимальным механизмом, воспроизводящим фасонную поверхность, счи­тается тот, который максимально прибли­жает условия образования поверхности пе­ременной кривизны к условиям образования поверхности постоянной кривизны, а поиск оптимального варианта механизма рассматри­вается как задача наилучшего приближения функций, описывающих условия образования этих поверхностей. Приближение функций следует рассматривать как решение задач, представленных в форме нелинейных мини­максных задач на условный минимум.

Задача математического моделирования считается сформулированной, если на основе технического задания выбрана расчетная схема или составлена математическая модель, выделены параметры, отражающие качество проекта, выведены математические зави­симости получения значений критериев каче­ства. Общая постановка задачи оптималь­ного проектирования содержит явные и не­явные (функциональные) ограничения на параметры

Критерий качества может отражать такие показатели машин, как производительность, металлоемкость, габаритные размеры, на­дежность, виброустойчивость, точность. Кри­терий качества математически выражается функционалом, который для конкретной мо­дели принимает численное значение. Это оз­начает, что критерий является объективной основой сравнения различных конструктивных решений, т. е. основой для проведения про­цесса проектирования. Проектировщик за­дается целью найти такие решения, для которых критерий качества принимает экст­ремальное значение. Найденные значения (решения) и будут оптимальными, а задачу поиска таких решений называют оптимизаци­онной. Приведем несколько примеров форму­лировки оптимизационной задачи:

· проектирование двухступенчатого редуктора с учетом габаритных ограничений и требо­ваний оптимальности с точки зрения кон­тактных напряжений (при известных скоро­стях на входе и выходе необходимо мини­мизировать отношение мощности к массе);

· проектирование зубчатой передачи с мини­мальной инерционностью, которое связано с определением оптимального числа ступеней передачи, передаточных чисел, ширины колес и диаметров валов каждой ступени;

· выбор оптимальной геометрии профиля зуб­чатых колес, минимизирующих контактные напряжения;

· синтез неэвольвентных зубчатых колес с оптимальной нагрузочной способностью, с уче­том изгибных и контактных напряжений (при синтезе формы зуба учитывать контактные соотношения и число зубьев);

· проектирование гидродинамических под­шипников, связанное с определением ширины и диаметра радиального подшипника при заданной несущей способности и частоты вращения из условия минимума доли потерь на трение и скручивание вала (в число параметров, определяющих объект проекти­рования, входит и температура);

· оптимизация ширины подшипника, радиаль­ного зазора и средней вязкости смазочного материала при минимизации количества мас­ла и изменения температуры;

· оптимизация конфигурации плоского гид­родинамического подшипника скольжения по минимуму несущей способности;

· оптимизация конфигурации вращающего диска исходя из наиболее выгодного распре­деления напряжений по критериям мини­мизации максимального и среднего танген­циального напряжения, максимального ре­зультирующего напряжения;

· проектирование стержня с максимальны­ми и минимальными амплитудами продоль­ных упругих волн.

При синтезе механизмов критерием мо­жет явиться точность в некоторых точках, минимум среднеквадратичной ошибки между требуемыми кинематическими соотношения­ми и расчетными, минимум флуктуации, минимум уровня реакции основной массы при гармоническом воздействии, при воз­действии случайного белого шума

Имеется множество методов решения оптимизационных задач, но каждый из мето­дов учитывает специфику сформулированной задачи, связанную с количеством и видом функций, с характером изменения парамет­ров.

Если присутствуют в задаче ограничения, как явные, так и неявные, в виде равенств и неравенств, то в математическом програм­мировании ее называют задачей условной оптимизации Если ограничения отсутствуют, то она является задачей безусловной опти­мизации.

В некоторых случаях задачу условной оптимизации можно свести к задаче безуслов­ной оптимизации. В этом случае вводят функцию преобразования от одних (старых) параметров к другим (новым) и для послед­них на основе этой функции преобразова­ния и границ изменения первоначальных параметров устанавливают границы изме­нения Получение теперь значений новых параметров в вычисленных границах автома­тически приводит к выполнению первона­чально заданных условий для старых пара­метров. Задача считается детерминирован­ной, если все функции (оценочные и входя­щие в ограничения) являются детермини­рованными. Если функции являются случай­ными, то задача является стохастической, т. е. решается задача оптимизации в усло­виях помех Когда некоторые переменные принимают только дискретные значения, то это задача дискретной оптимизации.

Разработаны методики решения задач оп­тимизации, которые учитывают вид целевой функции и функций в ограничениях. Эти ме­тодики определяют различные виды програм­мирования: линейное, квадратичное, геомет­рическое, дробно-линейное, динамическое, се­парабельное. Так, методы линейного програм­мирования предназначены для решения задач, где целевые функции и функции в ограниче­ниях линейны Квадратичным является про­граммирование, где целевые функции квадра­тичны, а функции в ограничениях линейны.

В сепарабельном программировании каж­дый критерий оптимальности и ограничения имеет вид сумм функций только одного пе­ременного. В задачах геометрического про­граммирования критерии оптимальности и ог­раничения представляют с помощью поло­жительных (результат вычисления всегда положителен) полиномов (позиномов).

Динамическое программирование основано на принципе, впервые сформулированном Веллманом. Этот принцип можно сформули­ровать следующим образом: оптимальная стратегия не зависит от предыстории системы, а определяется только начальным условием и конечной целью.