Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
1 5 10 50 100 500 1000
I V X L C D M
Системы счисления
Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. С числами связано важное понятие-система счисления.
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Системы счисления которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.
Система называется непозиционной, если значение каждой цифры (ее вес) не зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
До нас дошла римская система записи чисел в которой в качестве цифр используются латинские буквы)
Например,число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.
В римских числах цифры записываются слева на право в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра , а справа большая, то их значения вычитаются.
VI=5+1=6 IV=5-1=4
На Руси до XVIII века, использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы имели цифровое значение если над ними ставился специальный знак-титло:Ầ. Самая большая величина называлась «колода» А равное 1050 считали, что «более сего несть человеческому уму разумевати».
Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для сложения и вычитания, но совсем не пригодны для умножения и деления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти так как запись любого числа производится с помощью десяти цифр:
Десятичная система счисления зародилась в Индии и в XIII была перевезена Арабами, поэтому десятичную систему счисления называют арабской.С древних времен существовали разные системы счисления, на Древнем Востоке использовала 12-ричную систему счисления(столовые приборы и сейчас считают дюжинами, число месяцев в году 12) В Древнем Вавилоне существовала 60-ричная система счисления( 1мин -60 сек)
Позиционный тип легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая- три десятка, третья- три единицы.
333=3*100+3*10+3
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
· двоичная (используются цифры 0, 1);
· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Если количество таких цифр в системе счисления равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m
Таблица 1
|
Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.
/1011012, 36713, 3B8F16
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Пример:
1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=32+8+4+1=4510
3710 2 4510