Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Для разложения функции f(t) в ряд Фурье на всей оси 0 t необходимо, чтобы эта функция была периодической. При представлении функции заданной в интервале (-π/2; π/2), в виде ряда Фурье в этом интервале, функция периодически продолжается с периодом Т за пределы этого интервала. В этом случае получающаяся периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы гармоник. Установим, что будет с разложением, если Т→ ∞.

Пусть дана периодическая функция f(t), допускающая в интервале (-Т/2; Т/2) разложение в ряд Фурье т.е.

∆ω=2π/T

или в другой форме

 

где - относительная комплексная амплитуда.

При Т→ ∞ частота первой гармоники разложения f(t) в ряд Фурье:

∆ω=2π/Т → 0.

Однако величина ∆ω является приращением частоты при переходе от одной частоты к соседней. При Т→ ∞ приращение частоты становится величиной бесконечно малой, т.е.

∆ω → dω.

Обозначим через ω часиоту k –ой гармоники, т.е. положим

ω=k∆ω.

Под знаком суммы в правой части (2) величина ω принимает дискретные значения. Если

Т→ ∞ то ω становится непрерывной величиной. В этом случае

V

Функция F(jω) называется преобразованием Фурье функции f(t).Эта функция характеризует спектральный состав функции f(t) и может быть названа также спектральной характеристикой f(t).Используя формулу Эйлера (3) можно представить в виде:

 

 

 

или F(jω) = U(ω)-jV(ω),

где функция U(ω) – четная, а V(ω) – нечетная относительно ω.

Функцию F(jω) можно записать в виде:

где - модуль преобразования Фурье, четная функция.

- аргумент, нечетная функция.

Сравним преобразование Фурье F(jω) c относительной комплексной амплитудой k – ой гармоники F(jk∆ω).

В пределе при Т → ∞ (т.е. при ∆ω → 0) правая часть этого равенства совпадает с правой частью равенства (4), т.е. учитывая, что, найдем

где

Функция F(jk∆ω) даёт при фиксированном k значение относительной амплитуды k- й гармоники разложения периодической функции в ряд Фурье. Если k=0,1,2…,то F(jk∆ω) принимает значения F (jo), F(j∆ω), F(j2∆ω).

Функция F(jω) характеризует закон изменения относительных комплексных амплитуд разложения непериодической функции на сумму гармоник, так как частота ω принимает непрерывный ряд значений, то график F(jω) состоит не из отдельных (дискретных) точек, а является непрерывной кривой.

Интеграл Фурье дает разложение, представляющее собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник бесконечно близки.

Комплексная бесконечно малая амплитуда каждой гармоники, как следует из (5) будет

Амплитуды каждой гармоники в разложении с помощью интеграла Фурье бесконечно малы, поэтому изобразить их на графике не представляется возможным.

Поэтому для того, чтобы использовать спектральное представление и для анализа непрерывных процессов по оси ординат откладывают не амплитуду гармоники А, а значение относительной амплитуды.

Для периодической функции f(t) получится график

т.е.

график, характеризующий среднее значение амплитуды, приходящейся на единицу длины интервала частот. В пределе, при Т→ ∞ функция F(j∆ω) превращается в F (jω) непериодической функции f(t), которая с точностью до постоянного множителя π представляет собой отношение бесконечно малого приращения амплитуды, имеющей место при бесконечно малом приращении частоты к указанному приращению частоты

Аргумент спектральной характеристики argF(jω) = φ(ω) характеризует начальную фазу гармоник разложения непериодической функции f(t), а функция является относительной амплитудой этих гармоник.

Пример. Определить частотные свойства одиночного импульса высотой А и длительностью τ.

Периодически продолжаем функцию с периодом Т и находим коэффициенты a_k и b_k, функция четная b_k=0.

Амплитудно-частотный спектр A_k =│a_k│ будет иметь вид:

 

 

Графически спектр одиночного импульса изобразить нельзя. Построим график функции │F(jk∆ω) │, т.к.

 

 

Первое значение:

При k=0,1,2 … F(jk∆ω) принимает дискретный ряд значений. Через концы отрезков проходит огибающая │F(jω) │, величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до множителя π равна a_k.

Нетрудно видеть, что в отличие от огибающей для частотного спектра a_k кривая │F(jω) │не зависит от уменьшения (увеличения) частотного интервала ∆ω, происходящего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов. При Т → ∞ интервал станет бесконечно малым, однако относительные амплитуды остаются неизменными. В данном примере является действительной. В общем случае она может быть и комплексной.