МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л. Вычислительная математика. – М.: «Высшая школа», 1985. – 472 с.

Сулима И.М., Гавриленко С.И., Радчик И.А., Юдицкий Я.А. Основные численные методы и их реализация на микрокалькуляторах – Киев: «Вища школа», 1987. – 312 с.

 

 

Лекция №1. МЕСТО МКЭ СРЕДИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ, ПОЛОЖЕННЫЕ В ЕГО ОСНОВУ.

В основе любого численного метода, в которым относится МКЕ, лежит замена бесконечного множества чисел, представляющих неизвестную функцию, конечным числом параметров. Этот шаг называют дискретизацией непрерывной задачи. Среди различных видов дискретизации наиболее широкое распространение получил метод конечных разностей (МКР), основные этапы которого были рассмотрены ранее на примере параболических, эллиптических и гиперболических уравнений в частных производных.

Этому методу присущи некоторые труднопреодолимые моменты, которые легко преодолеваются при использовании метода конечных элементов (МКЭ), о котором будет идти речь ниже. В частности, МКР трудно использовать в область со сложной геометрией, учет граничных условий вызывает значительные затруднения. В МКР трудно учитывать изменение физических свойств среды внутри расчетной области.

Создан в 1956 г. для применения к задачам строительной механики и механики сплошной среды. В строительной механике МКЭ минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. В механике сплошной среды для решения уравнений Лапласа и Пуассона этот метод связан с минимизацией функционала. Далее МКЭ начинает использоваться в задачах о распространении тепла, движение жидкости в пористой среде, движение вязкой жидкости.

В 1975 году в работах О.Зенкевича были получены строгие формулировки МКЭ на основе метода Галеркина и метода наименьших квадратов, что сделала его общим численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем.

Основная идея метода заключается в том, что любую непрерывную величину можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей.

Непрерывная величина конечно заранее неизвестна, и ее нужно определить в конечном множестве точек внутри расчетной области, которое определяется из условий аппроксимации. Однако, если сначала предположить, что искомые значения функции уже известны, то при построении дискретной модели поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек – узлов.

2. Значение непрерывной величины в узлах нужно определить.

3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей – элементов. Эти элементы имеют общие узлы и аппроксимируют форму всей области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется по узловым значениям. Полиномы должны обеспечивать непрерывность искомой переменной вдоль границ элементов.

Пример с распределением температуры T(x) вдоль стержня длиной L.Использовать 5 узлов. Расстояния между узлами могут быть неодинаковы. Каждому узлу с координатой x₁=0, x₂, …, x₅=L соответствует узловое значение температуры T₁, …T₅, которое полагается известным. Из 5 узловых точек можно организовать либо 4 элемента с 2 узловыми точками, либо 2 элемента с 3 узловыми точками. Тогда внутри элемента в первом случае имеем линейное изменение температуры, а во втором случае – квадратичное распределение.

В общем случае распределение температуры неизвестно и имеется 5 неизвестных значений T_i , которые нужно оптимизировать, чтобы обеспечить предельно близкое распределение температуры к истинному его распределению. Для оптимизации распределения температуры минимизируется функционал, связанный с уравнением теплопроводности. Сам процесс минимизации сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно узловых значений.

При двухмерной области используются элементы в форме треугольника либо четырехугольника и описываются функциями от x и y. Минимальное число узлов для треугольника – 3, для 4-х угольника - 4. Если узлов больше, то можно описывать криволинейные границы в пределах элемента. Окончательная аппроксимация 2-х мерной непрерывной величины j(x,y) – совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, из которых каждая определяется в соответствующих узловых точках.

Важный аспект МКЭ – это выделение отдельного элемента из общей совокупности в модели.

Следует отметить, что МКР можно рассматривать, как одну из модификаций МКЭ. С этой точки зрения ячейки сетки в МКР рассматриваются, как конечные элементы прямоугольной формы. Неизвестная функция аппроксимируется линейно в пределах конечного элемента. Однако, МКР применяется непосредственно к дифференциальному уравнению при расчете узловых значений искомой функции, а МКЭ – к функционалу, порожденному дифференциальным уравнением.

Примеры расчета одних и тех же областей МКР и МКЭ (течения в трубе с уступом, течение в каверне).

Преимущества и недостатки МКЭ.

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть одинаковыми.

2. Метод можно использовать для областей со сложной формой границ.

3. Размеры элементов могут быть переменными.

4. МКЭ может легко учитывать смешанные граничные условия, либо условия с разрывной поверхностной нагрузкой.

5. Унификация метода под широкий класс задач.

Недостаток МКЭ – необходимость использования ПЭВМ с большими ресурсами.