Соединения с повторениями

 

Определение. Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n₁ элементов а, n₂ элементов b, …, n_k элементов l, где n=n₁+n₂+…+n_k. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

(4)

Пример. Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.

В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.

Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.

Определение. Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

(5)

Пример. На почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из 12 штук 293930 способами.

Определение. Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

(6)

Пример. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.

Если имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. В этом случае число размещений рассчитываться по формуле:

A = k₁ * k₂ * k₃ *...*k_n (5.7)

Пример. В эстафете 100, 200, 400, 800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

В соответствии с формулой получаем, что число вариантов равно:

3 * 5 * 6 * 1 = 90.

Пример. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Решение: На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье – из оставшихся двух. По правилу 2 получим: 3×3×2=18 чисел.