Простору

Т – топологічний простір, Довільна відкрита підмножина з Т, що містить А називається (відкритим) околом множини А.

 

Нехай Т – топологічний простір, Точка називається внутрішньою точкою А, якщо .

 

Сукупність усіх внутрішніх точок множини А називають внутрішністю цієї множини (Int A)

Твердження 1:Нехай Т – топологічний простір, Тоді Int A співпадає з об’єднанням усіх відкритих підмножин, що містяться в А.

Наслідок 1: IntA є найбільшою відкритою підмножиною, що міститься в А.

 

 

Наслідок 2: Множина А є відкритою тоді і тільки тоді, коли А=IntA.

 

Приклад 1: Розглянемо простір R, тоді Int [a, b]=(a, b)

Приклад 2: Розглянемо R, . Оскільки будь-який відкритий окіл як раціональні, так і ірраціональні числа, то

 

§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору

Нехай Т – топологічний простір, називається точкою дотику до підмножини А, якщо .

Сукупність усіх точок дотику А називається замиканням підмножини А. ([А])

 

Теорема (властивості операції замикання):

Нехай Т – топологічний простір, тоді операція замикання в Т має такі властивості:

1.

2.

3.

4.

 

 

Наслідок. Нехай Т – топологічний простір, - замкнена тоді і тільки тоді, коли

.

 

Твердження: Нехай Т – топологічний простір, Тоді - перетин усіх замкнених підмножин з Т, що містять А.

 

 

§7. Ізольовані, граничні, межові точки

 

Нехай Т – топологічний простір, Тоді

Точка К, яка належить множині А, називається ізольованою точкою множини А, якщо

Множина усіх ізольованих точок з А позначається IsA.

 

Точка х, яка належить множині Т, називається граничною, якщо

. Множина усіх граничних точок А позначається і називається похідною множини А.

 

Точка х, яка належить множині Т, називається межовою точкою множини А, якщо . Сукупність межових точок – це межа А (FrA).

 

Твердження 1: Нехай Тоді розпадається на три множини, що не перетинаються:

1. IsA.
2. - граничні точки А, що належать А.
3. - граничні точки А, що не належать А.

 

Наслідок 1: Підмножина А множини Т є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої граничні точки.

 

Твердження 2: Нехай Тоді розпадається в об’єднання трьох підмножин, що не перетинаються:

1. 
2. 
3. 

 

Наслідок 2: є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої межові точки.

 

Наслідок 3: Тоді:

1.

2.

3.

Приклади: 1.

2.

§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази

Нехай - топологічний простір, - його топологія. називається базою топології , якщо будь-яка підмножина з є об’єднанням деякої сукупності підмножин з (при цьому вважається, що є об’єднанням пустої сукупності підмножин з ).

 

Твердження 1 (критерій бази): - топологічний простір. є базою топології тоді і тільки тоді, коли

 

Доведення: Припустимо, що - база топології . Виберемо довільну точку і деякий її окіл . Оскільки є відкритою множиною, то він є об’єднанням деякої сукупності підмножин . Оскільки , то з означення об’єднання випливає, що .

Припустимо тепер, що задовольняє умові критерію, і покажемо, що тоді - база топології , тобто будь-яка відкрита підмножина є об’єднанням деякої сукупності підмножин з .

Дійсно, оскільки - відкрита, то . Тоді за умовою критерію:

. Все доведено.

 

Приклади: 1. З розділу “Відкриті підмножини метричного простору ” випливає, що утворює базу індукованої топології . Оскільки будь-яка відкрита підмножина з М є об’єднанням деякою сукупності відкритих куль. Але ця топологія має і меншу базу: .

 

1. В природній топології числової прямої R базу утворюють усі обмежені відкриті інтервали . Відзначимо, що хоча ця топологія на R має потужність контінум, але вона має зліченну базу , що випливає з критерію бази.

 

Твердження 2 (необхідна умова бази): Нехай - топологічний простір. Якщо є базою топології , то задовольняє наступним умовам:

1.

2.

 

Теорема( про введення топології за допомогою бази):Нехай Т – деяка множина і . Припустимо, що задовольняє умовам 1) і 2) попереднього твердження, тоді існує єдина топологія на Т, для якої є базою.

 

 

§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми

Нехай X, Y - топологічні простори. Відображення називається неперервним в точці , якщо .

Якщо відображення - неперервне в , то воно називається неперервним відображенням топологічних просторів.

Нехай - деяка база простору Х, - деяка база простору Y. Означення неперервності відображення можна ввести , використовуючи тільки елементи баз цих просторів, а саме:

 

Твердження 1: Нехай X, Y - топологічні простори, ,- їх бази. Відображення буде неперервним втоді і тільки тоді, коли

 

Розглянемо тепер неперервні відображення метричних просторів.

Оскільки сукупність усіх -околів метричного простору утворює базу його топології, то можна ввести наступні означення неперервності відображень метричних просторів.

 

Нехай X, Y - метричні простори, , .Відображення називається неперервним в точці х, якщо:

.

 

Оскільки і є елементами бази просторів X, Y , то згідно твердження 1, це означає еквівалентне означенню неперервності відображення топологічних просторів. В окремому випадку числових функцій (функцій, заданих на просторі R) означення неперервності має наступний вигляд:

 

Функція f неперервна в точці , якщо:

 

Твердження 2 (критерій неперервності відображень топологічних просторів):

Нехай X, Y - топологічні простори, неперервне тоді і тільки тоді, коли :

1. Прообраз будь-якої відкритої множини з Y є відкритою множиною в X.
2. Прообраз будь-якої замкненої множини з Y є замкненою множиною в X.

 

 

Твердження 3: Композиція (суперпозиція) неперервних відображень топологічних просторів є неперервним відображенням, тобто, якщо X, Y, Z – топологічні простори, і - їх неперервні відображення, то є неперервним відображенням топологічних просторів.

 

 

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називається гомеоморфізмом, якщо f – бієктивне, неперервне і зворотне до нього відображення.

також є неперервним.

 

Якщо між просторами X та Y існує гомеоморфізм, то такі простори називаються гомеоморфними і позначаються так: .

 

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називається:

1) відкритим, якщо образ будь-якої відкритої множини є відкритою множиною в Y.

2) замкненим, якщо образ будь-якої замкненої множини з X є замкненою множиною в Y.

 

Твердження 4: Нехай X, Y – топологічні простори, бієктивне неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли воно є відкритим (замкненим).

 

 

Наслідок: Якщо між топологічними просторами X, Y існує гомеоморфізм , то для довільної множини виконуються співвідношення:

1.

2.

3.

 

Якщо між топологічними просторами існує гомеоморфізм, то вони мають однакові топологічні властивості. У загальній топології гомеоморфні простори вважаються однаковими.

 

Твердження 5: Гомеоморфність є співвідношенням еквівалентності на класі усіх топологічних просторів, тобто:

1.

2.

3.

Сукупність усіх топологічних просторів розпадається на класи гомеоморфних просторів і вони не перетинаються. Ці класи називаються топологічними типами. Гомеоморфні простори мають однакові топологічні типи.

 

 

§10. Компактні топологічні простори

Нехай X – топологічний простір. Деяка сукупність підмножин називається покриттям простору X, якщо .

 

Якщо , то система підмножин називається покриттям множини А, якщо .

 

Якщо всі - відкриті, то покриття називається відкритим. Підпокриттям називається деяка сукупність множин з покриття. Топологічний простір X називається компактним, якщо з будь-якого відкритого його покриття можна виділити скінченне підпокриття.

 

Приклади:

1. Числова пряма не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.
2. Скінченний відкритий інтервал (0, 2) не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.
3. Замкнений інтервал є компактним простором, що доводиться в лемі Гейне-Бореля.

 

Нехай Х – деяка множина, - деяка система підмножин з множини Х. називається центрованою, коли кожна скінченна підсистема підмножин з має непустий перетин.

 

Твердження 1 (критерій компактності простору):

Топологічний простір Х є компактним тоді і тільки тоді, коли кожна центрована система його замкнених підмножин має непустий перетин.

 

Підмножина А топологічного простору Х називається компактною, якщо підпростір є компактним.

 

Твердження 2: Підмножина А топологічного простору Х є компактною тоді і тільки тоді, коли з кожного покриття множини А відкритими в Х підмножинами можна виділити скінченне підпокриття.

 

Твердження 3: Всяка замкнена підмножина А топологічного простору Х є компактною множиною цього простору.

 

Список використаної літератури.

 

 

1. Александрян Г.А. , Мирзаханян Э.А. Общая топология . – М.: Высш. шк. 1979. – 396 с.

2. Колмогоров А.Н. , Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. – 624 с.

3. Мищенко А.С. , Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: МГУ. 1980. – 439с.