Гармонические волны.

Глава 2. Волны

 

§2.1 Волновой процесс. Волновая функция.

 

Волной или процесс или волной будем называть любое различное возмущение распространяющиеся в пространстве при этом форма возмущения может меняться, но она всегда должна быть различимой.

Волновые процессы описываются различными уравнениями. Рассмотрим лишь одно из них.

Где - называется волновой функцией.

Рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнение частных производных 2го порядка.

Рассмотрим одномерный случай, когда:

Решение этого уравнения будем искать в виде функции

Подставим эту функцию в наше уравнение:

И убеждаемся , что она является решением.-

Полученное решение представляет собой возмущение распространения вдоль оси X со скоростью v. Точно также - это возмущение распространяется в противоположную сторону.

-волновая функция.

Общее решение уравнения будет:

Рассмотрим трёхмерный случай.

Рассмотрим сферически симметрическое решение:

-сферически-симметрическое решение

В этом случае волновое уравнение удобно переписать

Тогда волновое уравнение будет иметь вид:

Получим одномерное волновое уравнение, решение которого уже найдено:

Решение представляет собой возмущение созданное в точке R=0 и уменьшается по амплитуде при распространение в бесконечность. Решение описывает возмущение которое возникает из ничего на бесконечности и растёт при приближение к центру. Такое решение физически невозможно. Поэтому в сферически симметричном случаи: -произвольная функция.

 

 

Рассмотрим волновую функцию вида: , -циклическая частота волны. -волновой вектор.

-фаза волны

амплитуда волны

Функция называется гармонической или монохроматической волной.

Для того чтобы рассмотренная функция являлась решением волнового уравнения:

должны удовлетворять некоторому уравнению: которое называется дисперсионным.

Для того чтобы получить это уравнение в нашем случае подставим гармоническую функцию в уравнение, при этом учтём, что

-дисперсионное уравнение

Решая это уравнение мы можем найти частоту как функцию K

Полученное решение называется дисперсионным соотношением. Точки в пространстве фазы которых одинаковы.

образуют поверхность которая называется волновой или волновым фронтом. Как известно градиент любой функции направлен к поверхности на которой она постоянна.

Так как вектор К постоянен по величине и направлению, то волновая поверхность будет плоской. Поэтому данная гармоническая волна называется плоской гармонической волной. При этом направление распространение волны будет совпадать с направлением.

Расстояние на котором фаза волны меняется на называется длинной волны

Время течение которого фаза волны менятся на называется периодом волны .

Пусть направлен вдоль оси x , тогда формула для плоской гармонической волны будет иметь вид: ; .
Скорость с которой движется точка в пространстве где фаза волны постоянна называется фазой скоростью волны. Для определения этой скорости продифференцируем по времени условия постоянной фазы

Следует заметить, что фазовая скорость это не скорость математической точки поэтому фазовая скорость может быть любой, то есть и больше скорости света.

Если фазовая скорость постоянна , то есть не зависит от , то говорят что нет дисперсии..

Если фазовая скорость зависит от или говорят о наличии дисперсии.

Рассмотрим сферически симметрично гармоническую волну , у такой волны волновой фронт- сферическая поверхность.в каждой точке волнового фронта направлен к нему, то есть по радиусу. Все остальное также как у плоской волны.