Вынужденные колебания

Анализ решения. Резонансные характеристики.

 

Рассмотрим систему на которую действует внешняя сила . Если это пружина маятника, то уравнение будет иметь вид:

Рассмотрим самый важный случай когда внешняя сила периодична.

Для того чтобы найти решение этого уравнения рассмотрим комплексное уравнение реальная часть которого совпадает с нашим уравнением.

 

Решение уравнения будем искать в виде:

 

 

, где

Таким образом найденное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармонические колебания амплитуда которых полностью определяется параметрами осциллятора и частотой -вынуждающая сила

Тоже самое касается и начальной фазы колебаний . Другими словами полученное решение независит от начальных условий, а поэтому не является общим и единственным. Это частное решение уравнения вынужденных колебаний.

Амплитуда колебаний зависит от параметров системы и частотой - вынуждающей силы. Зависимость амплитуды от называется амплитудно-частотный характеристикой системы.

Такая зависимость называется резонансной, а частота _R (при которой амплитуда максимальна) называется резонансной частотой. Если =_R то говорят, что в системе наблюдается резонанс амплитуд.

Для нахождения резонансной частоты нужно приравнять к 0, производную

Легко заметить, что достаточно приравнять к нулю производную от подкоренного выражения

Зависимость базового сдвига от частоты называется фазово-частотной характеристикой.

Рассмотрим скорость вынужденных колебаний

- амплитуда скорости.

Полученная зависимость называется резонансом скорости. Для определения частоты при которой V₀ = max надо .

Полученное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание. В §1.3 было показано, что энергия гармонических колебаний постоянна. В §2.4 из 1ой части курса было сказано, что полная энергия системы сохраняется, если сумма мощностей всех не потенциальных сил = 0.

В нашей системе таких сил 2: сила трения и внешняя сила. Как известно мощность силы будет :

Пусть N- мощность внешних сил

-мощность внешних сил

 

 

Очевидно, что среднее значение мощности вынуждающей силы будет:

Так как средняя мощность пропорциональна квадрату амплитуды скорости, то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, то есть при ₀ , осциллятором в котором происходит вынужденные колебания принято характеризовать полимерной резонансной кривой, которая определяется на уровне половины максимальной средней мощности.

Рассмотрим систему со слабым затуханием когда , так как при уменьшение затухания ширина резонансной кривой уменьшается, тогда :