АФФИННАЯ И ПЕРСПЕКТИВНАЯ (НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ) ГЕОМЕТРИЯ

Параллельная проекция

Центральное проецирование

Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.

Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.

 

 

Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.

Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.

Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.

При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.

 

 

Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.

Проекция называется ортогональной, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.

Проекция называется косоугольной, если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.

Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции

 

К настоящему времени разработана математическая теория как для перспективной (начертательной), так и для аффинной геометрии. Теоремы аффинной геометрии идентичны теоремам геометрии Евклида. И в той и в другой науках важным понятием является параллелизм. В перспективной геометрии прямые в общем случае не параллельны.

Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, например поворота и последующего переноса. Для аффинного преобразования последний столбец в обобщенной -матрице равен . В противном случае, как это показано далее в разделе 3-15, преобразованная однородная координата не равна единице и нет взаимно однозначного соответствия между аффинным преобразованием и -матричным оператором. Аффинные преобразования образуют полезное подмножество билинейных преобразований, так как произведение двух аффинных преобразований также аффинно.

 

Рис. 3-10 Иерархия плоских геометрических проекций.

Это свойство позволяет скомбинировать общее преобразование множества точек относительно произвольной системы координат при сохранении значения единицы для однородной координаты .

Так как евклидова геометрия изучается в школах многие годы, то методы рисования и черчения, основывающиеся на евклидовой геометрии, стали стандартными методами графического сообщения. Хотя художниками и архитекторами часто используются перспективные виды для создания более реалистического изображения, в технической работе они используются редко из-за трудности их ручного конструирования. Однако при использовании для задания объекта однородных координат, аффинные и перспективные преобразования вычисляются одинаково легко.

И аффинные, и перспективные преобразования трехмерны, т. е. являются преобразованиями одного трехмерного пространства в другое. Однако для наблюдения результатов на двумерной поверхности требуется проецирование из трехмерного пространства в двумерное. Результат этого проецирования называется плоской геометрической проекцией. На рис. 3-10 изображена иерархия плоских геометрических проекций. Матрица проецирования из трехмерного пространства в двумерное всегда содержит столбец из нулей, следовательно, детерминант этого преобразования всегда равен нулю.

Плоские геометрические проекции объектов образуются пересечением прямых, называемых проекторами, с плоскостью, называемой плоскостью проекции. Проекторы - это прямые, проходящие через произвольную точку, называемую центром проекции, и каждую точку объекта. Если центр проекции расположен в конечной точке трехмерного пространства, получается перспективная проекция. Если центр расположен в бесконечности, то все проекторы параллельны и результат является параллельной проекцией. Плоские геометрические проекции представляют основу описательной геометрии.

 

Рис. 3-11 Плоские проекции, (а) Фиксирован центр проекции; (b) фиксирован объект.

Неплоские и негеометрические проекции также полезны; они широко используются в картографии.

Для разработки различных преобразований, представленных на рис. 3-10, можно использовать два разных подхода. В первом предполагается, что центр проекции или точка зрения фиксирована, а плоскость проекции перпендикулярна каждому проектору, как это показано на рис. 3-11а. Для получения требуемого вида манипулируют объектом. Во втором подходе предполагается, что объект фиксирован, центр проекции может как угодно перемещаться в трехмерном пространстве, а плоскость проекции не обязательно перпендикулярна направлению взгляда. На рис. 3-11b приведен пример этого. Оба подхода математически эквивалентны.

Первый подход напоминает действия наблюдателя, которого попросили описать небольшой объект, например, книгу. Он берет объект в руки, поворачивает и перемещает его для того, чтобы изучить все его стороны. В этом случае центр проекции фиксирован и манипулируют объектом. Второй подход напоминает действия наблюдателя, которого попросили описать большой объект, например автомобиль. Наблюдатель ходит вокруг объекта, чтобы осмотреть его с разных сторон, взбирается на лестницу для осмотра верха и опускается на колени для осмотра его нижней части. В этом случае объект фиксирован, а центр проекции и точка зрения перемещаются.

В процессе конструирования или изображения объекта на графическом дисплее компьютера местоположение глаза обычно фиксировано, а плоскость проекции, т. е. поверхность, обычно перпендикулярна направлению взгляда. Следовательно, в данном случае более подходит первый подход. Тем не менее, если графический дисплей используется для представления движения какого-нибудь транспортного средства или наблюдатель движется в сгенерированной компьютером модели, как в случае использования тренажера, или если наблюдатель прогуливается в архитектурной модели, тогда больше подходит второй подход.

В этой книге используются фиксированный центр проекции и движущийся объект. Метод с фиксированным объектом и движущимся центром проекции хорошо проработан Калбомом и Пейсиореком ([3-2]).

Мы начнем наше обсуждение плоских геометрических проекций (см. рис. 3-10) с рассмотрения параллельных проекций.