Свойства проекций
Содержание
1. Принятые обозначения.
2. Темы:
2.1. Сущность метода проекций.
2.2. Центральное и параллельное проецирование:
2.2.1. Проективная плоскость и пространство (Евклидовы плоскости пространства);
2.2.2. Перспективная коллинеация и гомология;
2.2.3. Перспективное аффинное соответствие;
2.3. Ортогональные проекции:
2.3.1. Проекции точки:
2.3.1.1. Ортогональная система трех плоскостей проекции;
2.3.1.2. Три координаты точки.
2.3.2. Прямая линия:
2.3.2.1. Задание прямой линии;
2.3.2.2. Положение прямой линии относительно плоскостей проекции;
2.3.2.3. Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскости проекции;
2.3.2.4. Следы прямой линии;
2.3.2.5. Взаимное расположение двух прямых линий.
2.3.3. Плоскость:
2.3.3.1. Способы задания плоскости. Следы плоскости;
2.3.3.2. Положение плоскости относительно плоскости проекции;
2.3.3.3. Построение следов плоскости;
2.3.3.4. Главные линии плоскости;
2.3.3.5. Взаимное расположение: двух плоскостей, прямой линии и плоскости, прямой параллельной плоскости, прямой линии пересекающей плоскость, прямой перпендикулярной плоскости, взаимно перпендикулярных плоскостей.
2.3.4. Многогранники:
2.3.4.1. Способы задания многогранников;
2.3.4.2. Пересечение плоскости и прямой линии с многогранником;
2.3.4.3. Взаимное пересечение многогранников.
2.3.5. Способы преобразования проекций:
2.3.5.1. Кривые линии;
2.3.5.2. Поверхности;
2.3.5.3. Развертка;
2.3.5.4. Метод параллельного проецирования на одну плоскость (аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками, тени в ортогональных проекциях, тени в перспективе, тени в аксонометрии).
Принятые обозначения
Горизонтальная плоскость проекции: П1
Фронтальная плоскость проекции: П2
Профильная плоскость проекции: П3
Точки в пространстве: A, B, C, D, E …
Горизонтальные проекции точек: A1, B1, C1, D1, E1…
Фронтальные проекции точек: A2, B2, C2, D2, E2…
Профильные проекции точек: A3, B3, C3, D3, E3…
Линии в пространстве: a, b, c, d, e…
Горизонтальные проекции линий: a1, b1, c1, d1, е1…
Фронтальные проекции линий: a2, b2, c2, d2, e2,…
Профильные проекции линий: a3, b3, c3, d3, e3,…
Плоскости и поверхности в пространстве: ∑, Ω, Φ,…
Соответственно их проекции: ∑1, ∑2, ∑3,…
Углы: α, β, γ, δ,…
Плоскость проекций для получения аксонометрических чертежей: П’
Линии уровня: горизонталь — h, фронталь — f, профильная прямая — p.
Последовательность точек обозначается: A1, A2, A3,…
Последовательность прямых обозначается: a 1, a2, a3,…
Последовательность плоскостей обозначается: ∑1, ∑2, ∑3
Оси координат: ox, oy, oz
Оси проекций и совпадающие с ними проекции координатных осей на комплексном чертеже: x12, y1, y3, z23
Точка пересечения проекций (начало координат) на комплексном чертеже:
Знаки относительного положения: ≡ — совпадение, или — принадлежность, ║ — параллельность,┴ — перпендикулярность, — пересечение, ═ — результат операции, — прямой угол.
2.1. Сущность метода проекций
Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Проецирование— это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.
Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты — точки А, В, проецирующие лучи i и плоскость проекции п', на которой получается изображение объектов (рис. 43). Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А', т. е. [i ~ A; i ^ п' = А']. Проекцией точки В является точка В', хотя проекция точки В, лежащей в плоскости п', совпала с самой точкой. Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.
Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств.
Проекция точки есть точка.При заданном центре Р (.или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует иа плоскости проекций п' единственная точка А'. При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой (см. рис. 43).
Проекция прямой есть прямая.На рис. 46 лучи, проецирующие прямую т, создают плоскость S, которая пересекает плоскость проекций п' по линии m', являющейся проекцией на плоскость n'; S ~ т; S п п = т'. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рис. 49). Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции п', то ее проекция параллельна самой прямой (рис. 50). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном — равны им.
При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рис. 51):
АВ/ВС = А'В'/В'С.
При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные (рис. 52). Если прямые т и п в пространстве параллельны, то и проецирующие их плоскости Sm и Sn тоже будут параллельны. При пересечении их с плоскостью проекций п' получаем т'|| п'.
Проекцией плоскости является плоскость проекций.Плоскость состоит из бесконечного множества точек. При проецировании этого множества проецирующие лучи заполняют все пространство, а
их точки пересечения с плоскостью проекций п' — всю плоскость проекций.
Так как положение любой плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой, то проекция трех таких точек плоскости (рис. 53, а) устанавливает однозначное соответствие между проецирующей плоскостью и плоскостью проекций n', которое позволяет определить проекции (рис. 53, б) любой точки D или прямой этой плоскости.
Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рис. 54, а), а при параллельном — равны им (рис. 54,6).
Если плоскость угла параллельна плоскости проекций, величина проекции угла и при центральном, и при параллельном проецировании равна натуральной величине. На рис. 54, a угол ABC = уголA'B'C', так как АВС бесконечность А'В'С', а на рис. 54, б угол ABC = углу А'В'С', так как АВС = А'В'С'.
При параллельном проецировании проекции фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости j проекций (рис. 55).
Прямые и плоскости (поверхности) могут занимать в пространстве проецирующее положение, если с ними совпадают проецирующие лучи. При центральном проецировании это прямые и плоскости, проходящие через центр проекций, пирамидальные и конические поверхности, у которых вершины совпадают с центром проецирования (рис. 56). При параллельном проецировании — это прямые и плоскости, параллельные направлению проецирования, призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых параллельны направлению проецирования (рис. 57).
Все эти геометрические фигуры можно рассматривать состоящими из проецирующих лучей, каждый из которых изображается точкой. Отсюда следует, что проекциями прямых, плоскостей, поверхностей, занимающих проецирующее положение, есть точки или линии их пересечения с плоскостью проекций («вырожденные» проекции).