Ложная регрессия

Информационные критерии (критерий Акайке, Шварца)

Спецификация и прогноз регрессионных уравнений

Коэффициент эластичности

Определение 3.3. Коэффициенты эластичности для нелинейной регрессии характеризуют, на сколько процентов приблизительно изменится зависимая переменная при изменении независимого фактора на 1%.

(3.14)

Определение 3.4. Средний коэффициент эластичности характеризует процентное изменение зависимой переменной y относительно своего среднего значения при изменении независимого фактора x_i на 1% относительно своего среднего значения .

(3.15), где

- значение зависимой переменной при среднем значении фактора x_i

Для производственной функции коэффициентом эластичности назвается эластичность выпуска по i-му ресурсу и определяется как отношение предельной производительности M_i i-го ресурса к его средне производительности A_i: (3.16)

Определение 3.5. Совокупность частных коэффициентов эластичности производственной функции называется эластичностью производства Э_x=Э₁+Э₂+…+Э_k (3.17)

В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности. Если зависимость между переменными x и y имеет вид y=f(x), то коэффициент эластичности Э вычисляется по формуле

Э= f′(x)

Коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии y=a+b∙x коэффициент эластичности равен

Э=b

Коэффициент эластичности Э в общем случае зависит от величины x и является величиной переменной. Чтобы исключить эту зависимость применяется средний коэффициент эластичности

=f′(x) =b

который уже является величиной постоянной.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности значений фактора х изменится результативный признак упри изменении фактора х на 1 %.

Для степенной регрессии y=a∙x^b коэффициент эластичности равен b и является величиной постоянной. Отсюда следует интерпретация параметра b в уравнении степенной регрессии: параметр b показывает, на сколько процентов изменится результативный признак у при изменении фактора х на 1 %.

Определение 4.1. Спецификация подели – оптимальность ее выбора, т.е. соответствие исходным данным.

Анализ правильности спецификации играет важную роль в экономических исследованиях и прогнозах.

Под спецификацией модели следует также понимать правильный выбор набора объясняющих переменных (независимых факторов).

В случае, когда в модель не включена существенная переменная, могут быть следующие последствия:

1) Исчезают возможности, верно, оценить и интерпретировать уравнение.

2) Коэффициенты при оставшихся переменных становятся смещенными.

3) Стандартные ошибки коэффициентов и t-статистики некорректны, следовательно, не могут быть использованы для суждения о качестве подгонки предлагаемой модели.

В случае если включена линейная переменная, то это обстоятельство ведет к увеличению стандартных ошибок и, как следствие, к статистической незначимости оценок.

Существуют информационные критерии, позволяющие выбирать из множества моделей наилучшую, т.е. производить спецификацию.

Наиболее часто применяют критерии Акайке, Шварца.

Критерий Акайке рассчитывается по формуле:

(4.1), где

- выборочная дисперсия остатков,

k- число ограничений на стационарность

Критерий Шварца:

При сравнении множества моделей по информационным критериям выбираются модели, для которых значения AC и SC – минимальны.

Примечание: Особенно часто информационные критерии используются для полиномиальной регрессии, чтобы определить стационарность полинома.

При построении модели, адекватно описывающей изучаемый процесс в экономике, очень важную роль играет анализ правильности ее спецификации. Отрицательно на объясняющих свойствах модели сказывается как отсутствие значимой переменной, так и избыточное присутствие незначимой.

В случае, когда в модель не включена существенная переменная (существенной называют переменную, которая должна быть в модели согласно правильной теории), наблюдаются следующие последствия:

1.Исчезает возможность правильной оценки и интерпретации уравнений.

2.Коэффициенты при оставшихся переменных становятся смещенными.

3.Стандартные ошибки коэффициентов и t-статистики некорректны и не могут быть использованы для суждения о качестве подгонки предлагаемой модели.

Например, предположим, что из модели исключена переменная Х₂. Тогда в новой спецификации фактически рассматривается модель , где .

Если объясняющие переменные Х₁ и Х₂ коррелированы, то нарушается предпосылка теоремы Гаусса-Маркова о некоррелированности случайного члена и регрессоров, поскольку в этом случае между Х₁ и u существует ненулевая корреляция. Оценки, полученные по методу наименьших квадратов для данной модели, уже не являются эффективными среди линейных оценок.

Оценки даже не являются несмещенными, поскольку для МНК оценки коэффициента β₁ в этом случае получаем: . Наблюдается смещение .

Включение несущественной переменной в модель не приводит к смещению оценок коэффициентов, но появляется другой недостаток – растут стандартные ошибки коэффициентов. Оценки становятся статистически незначимыми.

Если точная спецификация модели неизвестна (что практически всегда и бывает), то пользуются критериями, позволяющими выбирать из некоторого множества моделей наилучшую.

Наиболее распространенными критериями является критерий Шварца (Schwarz) и критерий Акайке (Akaike). Оба критерия позволяют выбирать наилучшую модель из множества различных спецификаций. Критерии численно построены так, чтобы учесть влияние на качество подгонки модели двух противоположных тенденций.

При добавлении переменных в модель качество подгонки в общем случае увеличивается. Заметим, что число регрессоров должно быть разумным, чтобы не вызвать "искусственной подгонки" зависимой переменной объясняющими. С другой стороны, недостаточное включение переменных в модель дает большую стандартную ошибку, и качество подгонки снижается.

Формулы для расчета критериев Akaike и Schwarz:

,
,

где - выборочная дисперсия, К – число ограничений на степени свободы. ЗначениеК в этом случае равно числу независимых переменных, включая свободный член. Таким образом, если в модели присутствует два регрессора и свободный член, то число ограничений на степени свободы будет равно трем.

Первое слагаемое представляет собой штраф за большую дисперсию, второе – штраф за использование дополнительных переменных. Критерии рассчитываются для каждой рассматриваемой спецификации. При сравнении двух типов моделей предпочтение отдается спецификации, которая имеет наименьшие значения критериев.

Часто является т.н. ложной регрессии отношение к данным уровня цен (особенно если эти данные не кросс секционные, а временные).

Ложная регрессия может возникнуть при анализе данных, когда величина наблюдений переменных имеет тенденцию к росту (понижению) с течением времени.

Данные, относящиеся к переменным, выраженных в виде денежных единиц или финансовых агрегатов, особенно чувствительны к этой проблеме.