Элементы математической статистики

Условное математическое ожидание

Определение. Матожидание некоторой случайной переменной, найденное при заданном значении других случайных переменных, называется условием матожиданием

 

Условные математические ожидания и условные вероятности являются ключевыми понятиями теории вероятностей, именно в этих понятиях корень отличия данной дисциплины от теории меры (некоторое время, лет 50 назад, существовало мнение, что теория вероятностей является ветвью теории меры, что, конечно же, не соответствует действительности). Эти понятия лежат в основе таких замечательных понятий как мартингалы и семимартингалы, которые строятся с использованием условных вероятностей относительно последовательности сигма-алгебр.

Вообще, условные вероятности предоставляют в распоряжение исследователей чрезвычайно гибкий язык, очень полезный для описания многих вероятностных явлений.

Определение. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

 

Для непрерывных случайных величин:

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

 

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

В математической статистике под генеральной совокупностью понимают совокупность всех мыслимых, то есть возникаемых значимый переменной.

Любая генеральная совокупность описывается параллелями генеральной совокупности.

Если из генеральной совокупности выбрать несколько элементов или произвести несколько испытаний, то получим так называемую выборку.

Статистический анализ делится на 2 вида:

-описательная статистика

-статистика получения выводов

Под описательными статистическими показателями понимается группа сводных показателей, каждый из которых одним числом определяет какое-либо количество в совокупности

Статистика получения выводов применяется при оценке и проверке гипотез.

0.4.1.Оценивание «хороших» свойств оценок

Иногда встает задача по имеющейся выборке рассчитать характеристики генеральной совокупности.

Например, теоритически удалось установить, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально. Следовательно, необходимо оценить матожидание и среднеквадратическое отклонение, т.к оба этих параметра полностью определенно нормальное распределение. Т.е обычно в распоряжение имеются лишь данные выборки. Например, количественные признаки х1, х2,….хn, полученное в результате n наблюдений.

Определение. Задача оценивания к-л характеристики случайной переменной заключается в построение некоторой функции, основанной на выборной информацие, которая связывает оценочные значения характеристики со значением выборки х1, х2,….хn, называется оценкой – f (х1, х2,….хn).

Если рассматривать х1, х2,….хn, как независимые случайные величины Х1, Х2,….Хn, Можно найти статистическую оценку неизвестного параметра теоритического распределения, т.е найти функцию от наблюдаемых случайных величин.

Числовые значения характеристик, полученные на основание таких функций, также называются оценками.

Для успешных ведения статистических исследований оценки формулы достаточна обладать тремя свойствами ( – оценка неизвестного параметра ):

1. Оценка должно быть несмещенной, т.е матожидание оценки должно быть равно истинному значению параметра для генеральной совокупности М( )= ;

2. Оценка должно быть эффективной. Это означает, что оценка должна иметь наименьшую по сравнению с другими оценками дисперсию;

3. Оценка должна быть состоятельной, т.е при бесконечном увеличении параметра выборки , распределения вероятностей должна быть вырождаться в точку.

В дальнейшем оценки, обладающие этими тремя свойствами, будут называтся «хорошими».

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является её функция распределения или плотность вероятности, и, следовательно, сравнивать свойства различных оценок можно, исходя из свойств их функций или плотностей распределений (или, как говорят, выборочных распределений оценок)