Первая улучшенная формула Эйлера

Особенности метода Эйлера.

Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификации метода, повышающие его точность, - методы Эйлера-Коши – первая и вторая улучшенные формулы.

 

 

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение в каждой точке определяется по формуле:

,

где

.

Геометрически это означает, что отрезок ломанная между точками заменяется на два отрезка . Направление первого отрезка совпадает с направлением интегральной кривой в точке

, а направление второго отрезка определяется направлением, интегральной кривой в вспомогательной точке.

Пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

 

0.0	1.000
0.1	1.109
0.2	1.239